试题

如图，抛物线y=-

4

21

x2-

16

21

x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．动点P从A点出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；同时动点Q从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒．
（1）写出A，B，C三点的坐标和抛物线顶点D的坐标；
（2）连接PC，求当t=3时△PQC的面积；
（3）连接AD，当t为何值时，PQ∥AD；
（4）当t为何值时，△PQB为等腰三角形？

解：（1）∵抛物线y=-

4

21

x2-

16

21

x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴相交于点C，顶点为D．
∴图象与x轴的交点坐标为：
0=-

4

21

x2-

16

21

x+4，
整理得：x²+4x-21=0，
解得：x₁=3，x₂=-7，
∴A（-7，0），B（3，0），
y=-

4

21

x2-

16

21

x+4，
=-

4

21

（x²+4x）+4，
=-

4

21

（x²+4x+4-4）+4，
=-

4

21

[（x+2）²-4]+4，
=-

4

21

[（x+2）²+

100

21

，
∴D点的坐标为：（-2，

100

21

），
图象与y轴的交点坐标为：y=4，
C（0，4）；

（2）过点Q做QE⊥BO，
∵动点P从A点出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；
同时动点Q从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，
∵当t=3时，
∴AP=6，BQ=3，
BP=AB-6=10-6=4，
CO=4，BC=5，
∵QE∥CO，
∴△QEB∽△COB，
∴

BQ

BC

=

QE

CO

，
∴

3

5

=

QE

4

，
∴QE=2.4，
∴S_△PCB=

1

2

×4×4=8，
S_△PQB=

1

2

×PB×2.4=4.8，
∴S_△PCQ=S_△PCB-S_△PQB=8-4.8=3.2；

（3）做DF⊥AO，
∵当PQ∥AD时，
∴

AF

PE

=

DF

QE

，
∵

BQ

BC

=

QE

CO

，
∴QE=

4t

5

，
∴BE=

3

5

t，
∴OE=3-

3

5

t，
∴PO=7-2t，
∴PE=PO+OE=10-

13

5

t，
∴解得：t=

125

43

秒，

（4）当PB=BQ时，△PQB为等腰三角形．
∴10-2t=t，
解得：t=

10

3

，
当PQ=BQ，
BE=

1

2

PB=5-t，
BE=

3

5

t，
∴

3

5

t=5-t，
解得：t=

25

8

，
当PQ=PB时，

(10- 13 5 t)2+( 4 5 t)2

=10-2t，
解得：t=0（舍去），t=

60

17

，
故当t=

10

3

，t=

25

8

，t=

60

17

，时，△PQB为等腰三角形．
解：（1）∵抛物线y=-

4

21

x2-

16

21

x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴相交于点C，顶点为D．
∴图象与x轴的交点坐标为：
0=-

4

21

x2-

16

21

x+4，
整理得：x²+4x-21=0，
解得：x₁=3，x₂=-7，
∴A（-7，0），B（3，0），
y=-

4

21

x2-

16

21

x+4，
=-

4

21

（x²+4x）+4，
=-

4

21

（x²+4x+4-4）+4，
=-

4

21

[（x+2）²-4]+4，
=-

4

21

[（x+2）²+

100

21

，
∴D点的坐标为：（-2，

100

21

），
图象与y轴的交点坐标为：y=4，
C（0，4）；

（2）过点Q做QE⊥BO，
∵动点P从A点出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；
同时动点Q从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，
∵当t=3时，
∴AP=6，BQ=3，
BP=AB-6=10-6=4，
CO=4，BC=5，
∵QE∥CO，
∴△QEB∽△COB，
∴

BQ

BC

=

QE

CO

，
∴

3

5

=

QE

4

，
∴QE=2.4，
∴S_△PCB=

1

2

×4×4=8，
S_△PQB=

1

2

×PB×2.4=4.8，
∴S_△PCQ=S_△PCB-S_△PQB=8-4.8=3.2；

（3）做DF⊥AO，
∵当PQ∥AD时，
∴

AF

PE

=

DF

QE

，
∵

BQ

BC

=

QE

CO

，
∴QE=

4t

5

，
∴BE=

3

5

t，
∴OE=3-

3

5

t，
∴PO=7-2t，
∴PE=PO+OE=10-

13

5

t，
∴解得：t=

125

43

秒，

（4）当PB=BQ时，△PQB为等腰三角形．
∴10-2t=t，
解得：t=

10

3

，
当PQ=BQ，
BE=

1

2

PB=5-t，
BE=

3

5

t，
∴

3

5

t=5-t，
解得：t=

25

8

，
当PQ=PB时，

(10- 13 5 t)2+( 4 5 t)2

=10-2t，
解得：t=0（舍去），t=

60

17

，
故当t=

10

3

，t=

25

8

，t=

60

17

，时，△PQB为等腰三角形．