试题

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求抛物线对应的二次函数关系式；
（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；
（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得

16a+4b-2=0  a+b-2=0

，
解得，

a=- 1 2 b= 5 2

，
故该二次函数的解析式为：y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2．
由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．

（3）假设存在这样的点P．
∵A（4，0），C（0，-2），
∴AC=2

5

．
设P（x，0）．
①当AC=PC时，

x2+22

=2

5

，
解得，x=4（不合题意，舍去）或x=4，
即P₁（4，0）；
②当AP=AC时，|x-4|=2

5

，
解得，x=4+2

5

或x=4-2

5

，即P₂（4-2

5

，0）、P₃（4+2

5

，0）；
③当AP=PC时，|x-4|=

x2+22

，
解得，x=

3

2

，即P₄（

3

2

，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P₁（4，0）、P₂（4-2

5

，0）、P₃（4+2

5

，0）、P₄（

3

2

，0）．
解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，得

16a+4b-2=0  a+b-2=0

，
解得，

a=- 1 2 b= 5 2

，
故该二次函数的解析式为：y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-

1

2

t²+

5

2

t-2．
由题意可求得直线AC的解析式为y=

1

2

x-2．
∴E点的坐标为（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．

（3）假设存在这样的点P．
∵A（4，0），C（0，-2），
∴AC=2

5

．
设P（x，0）．
①当AC=PC时，

x2+22

=2

5

，
解得，x=4（不合题意，舍去）或x=4，
即P₁（4，0）；
②当AP=AC时，|x-4|=2

5

，
解得，x=4+2

5

或x=4-2

5

，即P₂（4-2

5

，0）、P₃（4+2

5

，0）；
③当AP=PC时，|x-4|=

x2+22

，
解得，x=

3

2

，即P₄（

3

2

，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P₁（4，0）、P₂（4-2

5

，0）、P₃（4+2

5

，0）、P₄（

3

2

，0）．