试题

已知点A（-1，0），点B（与A不重合）在射线AO上，点C在x轴上方，且△ABC为等边三角形，射线AC交y轴于D．
（1）当AB=4时，则点B、C、D的坐标分别是：B：，C：，D：；
（2）若AB=m（m＞0），则点B、C的坐标分别是：B：，C：；
当C、D不重合时，请根据m的不同取值，对于过B、C、D三点的二次函数开口方向作出判断，直接写出结论（不要求证明）．
（3）是否存在点B，使S△BCD=

3 3

16

？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（-1，0），点B（与A不重合）在射线AO上，AB=4，
∴B点坐标为（3，0）；
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵△ABC为等边三角形，
∴AE=

1

2

AB=2，CE=

3

AE=2

3

，
∴OE=AE-OA=2-1=1，
∴C点坐标为（1，2

3

）；
在△AOD中，∵∠AOD=90°，∠OAD=60°，OA=1，
∴OD=OA·tan60°=

3

，
∴D点坐标为（0，

3

）；

（2）∵AB=m，点A（-1，0），
∴B（m-1，0）；
过点C作CE⊥x轴于点E，
∵△ABC为等边三角形，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

m，CE=

3

AE=

3

2

m，
∵点A（-1，0），
∴点E（

1

2

m-1，0），
C点坐标为（

1

2

m-1，

3

2

m）．
∵C、D不重合，
∴m≠2，
又m=1时，B与O重合，过B、C、D三点的二次函数不存在，
∴m≠1且m≠2．
当0＜m＜1时，B点在x轴负半轴上，过B、C、D三点的抛物线开口向上；
当m＞1（m≠2）时，B点在x轴正半轴上，过B、C、D三点的抛物线开口向下；

（3）存在点B，使S_△BCD=

3 3

16

．理由如下：
设AB=m，分两种情况：
①当m＞2时，如备用图1．
S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=

3

4

m²-

1

2

m·

3

=

3

4

m²-

3

2

m，
由

3

4

m²-

3

2

m=

3 3

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，
解得m₁=

2+ 7

2

，m₂=

2- 7

2

（不满足m＞2，舍去），
所以有m=

2+ 7

2

，-1+

2+ 7

2

=

7

2

，
这时点B₁的坐标为（

7

2

，0）；
②当0＜m＜2时，如备用图2，S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=

1

2

m·

3

-

3

4

m²=-

3

4

m²+

3

2

m，
由-

3

4

m²+

3

2

m=

3 3

16

，
解得m₁=

1

2

，m₂=

3

2

，
-1+

1

2

=-

1

2

，-1+

3

2

=

1

2

，
这时点B₂的坐标为（-

1

2

，0），点B₃的坐标为（

1

2

，0）．
综上所述，当点B的坐标为（

7

2

，0），（-

1

2

，0）和（

1

2

，0）时，有S_△BCD=

3 3

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．
故答案为（3，0），（1，2

3

），（0，

3

）；（m-1，0），（

1

2

m-1，

3

2

m）．