试题

已知二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）设经过B、C、D三点的圆的圆心为O′，设⊙O′与x轴的另一个交点为E，求线段BE的长．

解：（1）∵二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0），
∴二次函数解析式为：y=a（x-1） ²-4，
将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） ²-4，
∴a=1，
∴二次函数的关系式为：y=（x-1） ²-4；

（2）∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
∴0=（x-1） ²-4；
x₁=-1，x₂=3，
∴点B坐标为：（3，0），
y=（0-1） ²-4=-3，
∴点C坐标为：（0，-3），
过点D作DM⊥y轴，DN⊥BN，BN∥y轴，
∴CD=

MD2+CM2

=

2

，
BD=

BN2+DN2

=

42+22

=2

5

，
BC=

OB2+CO2

=3

2

，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）连接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直径，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四边形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E点坐标为：（1，0）．
∴BE=2．
解：（1）∵二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0），
∴二次函数解析式为：y=a（x-1） ²-4，
将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） ²-4，
∴a=1，
∴二次函数的关系式为：y=（x-1） ²-4；

（2）∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
∴0=（x-1） ²-4；
x₁=-1，x₂=3，
∴点B坐标为：（3，0），
y=（0-1） ²-4=-3，
∴点C坐标为：（0，-3），
过点D作DM⊥y轴，DN⊥BN，BN∥y轴，
∴CD=

MD2+CM2

=

2

，
BD=

BN2+DN2

=

42+22

=2

5

，
BC=

OB2+CO2

=3

2

，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形；

（3）连接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直径，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四边形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E点坐标为：（1，0）．
∴BE=2．