已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求：①抛物线...-青果题库-青果学院

题目：

（2012·三明）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
青果学院

答案

解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，
∴A(

5

2

，0)，B（0，-5）．
解法一：当顶点M与点A重合时，∴M(

5

2

，0)．
∴抛物线的解析式是：y=-(x-

5

2

)2．即y=-x2+5x-

25

4

．
解法二：当顶点M与点A重合时，∴M(

5

2

，0)．
∵-

b

2×(-1)

=

5

2

，∴b=5．
又∵

4×(-1)c-b2

4×(-1)

=0，∴c=-

25

4

．
∴抛物线的解析式是：y=-x2+5x-

25

4

．
②∵N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线y=-x2+5x-

25

4

上，
∴2a-5=-a2+5a-

25

4

．
解得 a1=

1

2

，a2=

5

2

（舍去）
∴N(

1

2

，-4)．
过N作NC⊥x轴，垂足为C．
∵N(

1

2

，-4)，∴C(

1

2

，0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=

5

2

-

1

2

=2．
∴MN=

NC2+MC2

=

42+22

=2

5

；

（2）∵A(

5

2

，0)，B（0，-5）．
∴OA=

5

2

，OB=5，直线AB的解析式是：y=2x-5，
则OB=2OA，AB=

OA2+OB2

=

5

2

，

当OM⊥AB时，直线OM的解析式是：y=-

1

2

x，
解方程组：

y=2x-5

y=-

1

2

x

，
解得：

x=2

y=-1

，
则M的坐标是（2，-1）；
当ON⊥AB时，N的坐标是（2，-1），设M的坐标是（m，2m-5）则m＞2，
∵ON=

5

，
∴OM²=ON²+MN²，
即m²+（2m-5）²=5+（2

5

）²，
解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．
解：（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B，
∴A(

5

2