试题

如图，抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、MC，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，
∴A（-2，0），
又∵抛物线过点A、B、C，
故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标代入，
求得a=

1

3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x2-

4

3

x-4；

（2）当△MAC的周长最小时，即MA+MC的值最小，
连接BC，交直线x=2于点M，即为所求的点；
∵直线BC经过B（6，0），C（0，-4），
∴直线CB的解析式为yBC=

2

3

x-4，
当x=2时，y=-

8

3

∴M(2，-

8

3

)；

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=

1

3

x2-

4

3

x-4上，
∴当x=4时，k=-4，
∴点D的坐标是（4，-4），
如图（1），当AF₂为平行四边形的边时，
∵D（4，-4），
∴DE=4．
∴F₁（-6，0）；
如图（2），当AF为平行四边形的对角线时，
F的坐标为（x，0）
把F（x，0）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4，
得x=2±2

7

．
∴F₂（2+2

7

，0），F₃（2-2

7

，0）．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，
∴A（-2，0），
又∵抛物线过点A、B、C，
故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标代入，
求得a=

1

3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x2-

4

3

x-4；

（2）当△MAC的周长最小时，即MA+MC的值最小，
连接BC，交直线x=2于点M，即为所求的点；
∵直线BC经过B（6，0），C（0，-4），
∴直线CB的解析式为yBC=

2

3

x-4，
当x=2时，y=-

8

3

∴M(2，-

8

3

)；

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=

1

3

x2-

4

3

x-4上，
∴当x=4时，k=-4，
∴点D的坐标是（4，-4），
如图（1），当AF₂为平行四边形的边时，
∵D（4，-4），
∴DE=4．
∴F₁（-6，0）；
如图（2），当AF为平行四边形的对角线时，
F的坐标为（x，0）
把F（x，0）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4，
得x=2±2

7

．
∴F₂（2+2

7

，0），F₃（2-2

7

，0）．