试题

已知，如图，点B（0，1），点F（-2，0），直线BF与抛物线交于A，B两点，若抛物线图象顶点为C（1，0），
（1）求直线BF与抛物线函数关系式；
（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；
（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）中，线段AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为等腰梯形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线BF的解析式为y=kx+b，把B（0，1），F（-2，0）代入得，b=1，-2k+b=0，解得k=

1

2

，b=1，
∴直线BF的解析式为y=

1

2

x+1；
设抛物线的顶点式为y=a（x-1）²，把B（0，1）代入得，1=a（0-1）²，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²=x²-2x+1；
（2）∵点P横坐标为x，点P在直线AB上，
∴点P的纵坐标为

1

2

x+1，
又∵PE⊥x轴，
∴点E横坐标为x，
而点E在抛物线y=x²-2x+1上，
∴点E的纵坐标为x²-2x+1，
∴PE=h=

1

2

x+1-（x²-2x+1），
即h=-x²+

5

2

x，
解方程组

y= 1 2 x+1 y=x2-2x+1

得

x 1=0 y 1=1

，

x2= 5 2 y 2= 9 4

，
∴A点坐标为（

5

2

，

9

4

），
∴x的取值范围为0＜x＜

5

2

，
∴h与x之间的函数关系式为h=-x²+

5

2

x（0＜x＜

5

2

）；
（3）存在．理由如下：
∵D为线段AB与二次函数对称轴的交点，而顶点为C（1，0），
∴点D坐标为（1，

3

2

），
∴DC=

3

2

，
又∵四边形DCEP为平行四边形，
∴DC=PE=h，
∴-x²+

5

2

x=

3

2

，解得x₁=1，x₂=

3

2

，
当x=

3

2

时，y=

1

2

x+1=

7

4

，
∴P点坐标为（

3

2

，

7

4

）；
（4）存在．理由如下：
如图，作PG⊥DC与G，EH⊥DC与H，
∵P（x，

1

2

x+1），E（x，x²-2x+1），
∴G点坐标为（1，

1

2

x+1），H点坐标为（1，x²-2x+1），
又∵四边形DCEP为等腰梯形，
∴DG=CH，
∴

3

2

-（

1

2

x+1）=x²-2x+1，解得x₁=1，x₂=

1

2

，
当x=

1

2

时，y=

1

2

x+1=

5

4

，
∴P点坐标为（

1

2

，

5

4

）．
解：（1）设直线BF的解析式为y=kx+b，把B（0，1），F（-2，0）代入得，b=1，-2k+b=0，解得k=

1

2

，b=1，
∴直线BF的解析式为y=

1

2

x+1；
设抛物线的顶点式为y=a（x-1）²，把B（0，1）代入得，1=a（0-1）²，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²=x²-2x+1；
（2）∵点P横坐标为x，点P在直线AB上，
∴点P的纵坐标为

1

2

x+1，
又∵PE⊥x轴，
∴点E横坐标为x，
而点E在抛物线y=x²-2x+1上，
∴点E的纵坐标为x²-2x+1，
∴PE=h=

1

2

x+1-（x²-2x+1），
即h=-x²+

5

2

x，
解方程组

y= 1 2 x+1 y=x2-2x+1

得

x 1=0 y 1=1

，

x2= 5 2 y 2= 9 4

，
∴A点坐标为（

5

2

，

9

4

），
∴x的取值范围为0＜x＜

5

2

，
∴h与x之间的函数关系式为h=-x²+

5

2

x（0＜x＜

5

2

）；
（3）存在．理由如下：
∵D为线段AB与二次函数对称轴的交点，而顶点为C（1，0），
∴点D坐标为（1，

3

2

），
∴DC=

3

2

，
又∵四边形DCEP为平行四边形，
∴DC=PE=h，
∴-x²+

5

2

x=

3

2

，解得x₁=1，x₂=

3

2

，
当x=

3

2

时，y=

1

2

x+1=

7

4

，
∴P点坐标为（

3

2

，

7

4

）；
（4）存在．理由如下：
如图，作PG⊥DC与G，EH⊥DC与H，
∵P（x，

1

2

x+1），E（x，x²-2x+1），
∴G点坐标为（1，

1

2

x+1），H点坐标为（1，x²-2x+1），
又∵四边形DCEP为等腰梯形，
∴DG=CH，
∴

3

2

-（

1

2

x+1）=x²-2x+1，解得x₁=1，x₂=

1

2

，
当x=

1

2

时，y=

1

2

x+1=

5

4

，
∴P点坐标为（

1

2

，

5

4

）．