试题

在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴相交于A，B两点，直线AB的函数表达式为 y=-

3

4

x-6，圆M经过原点O，A，B三点．
（1）求出A，B的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上且抛物线经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）如图，设（2）中求得的开口向下的抛物线交x轴于D、E两点，抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=

1

10

S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，得0=-

3

4

x-6，
x=-8，
令x=0，y=-6，
∴A（-8，0）B（0，-6）；

（2）∵CM⊥OA，
∴CM平分OA，
∵M为AB中点，
∴NM为△AOB中位线，
NM=

1

2

OB=3，
∴AM=5，
当抛物线开口向下时，顶点为C（-4，2）的抛物线解析式为：y=-

1

2

(x+4)2+2，
当抛物线开口向上时，顶点为C（-4，-8）的抛物线解析式为：y=

1

8

(x+4)2-8；

（3）∵CM=5，AD=4，DO=4，
∴S_△ABC=20，
∴S△PDE=

1

10

×20=2，
令y=0，得0=-

1

2

(x+4)2+2，
D（-6，0）E（-2，0），DE=4，
 

1

2

×h×4=2，
h=1，
当y=1时，
1=-

1

2

（x+4）²+2，
解得：x₁=-4+

2

，x₂=-4-

2

．
∴P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1）；
 当y=-1时，
 -1=-

1

2

(x+4)2+2，
解得：x=-4±

6

，
∴P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．
故抛物线上存在点P，使得S△PDE=

1

10

S△ABC，此时，点P的坐标为：P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1），P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．
解：（1）令y=0，得0=-

3

4

x-6，
x=-8，
令x=0，y=-6，
∴A（-8，0）B（0，-6）；

（2）∵CM⊥OA，
∴CM平分OA，
∵M为AB中点，
∴NM为△AOB中位线，
NM=

1

2

OB=3，
∴AM=5，
当抛物线开口向下时，顶点为C（-4，2）的抛物线解析式为：y=-

1

2

(x+4)2+2，
当抛物线开口向上时，顶点为C（-4，-8）的抛物线解析式为：y=

1

8

(x+4)2-8；

（3）∵CM=5，AD=4，DO=4，
∴S_△ABC=20，
∴S△PDE=

1

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×20=2，
令y=0，得0=-

1

2

(x+4)2+2，
D（-6，0）E（-2，0），DE=4，
 

1

2

×h×4=2，
h=1，
当y=1时，
1=-

1

2

（x+4）²+2，
解得：x₁=-4+

2

，x₂=-4-

2

．
∴P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1）；
 当y=-1时，
 -1=-

1

2

(x+4)2+2，
解得：x=-4±

6

，
∴P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．
故抛物线上存在点P，使得S△PDE=

1

10

S△ABC，此时，点P的坐标为：P₁（-4+

2

，1），P₂（-4-

2

，1），P₃（-4+

6

，-1），P₄（-4-

6

，-1）．