试题

如图，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD为对角线的矩形ABDC内部（不在各边上）的一个动点，点C在y轴上，抛物线y=ax²+bx+1以P为顶点．
（1）能否判断抛物线y=ax²+bx+1的开口方向？请说明理由．
（2）设抛物线y=ax²+bx+1与x轴有交点F、E（F在E的左侧），△EAO与△FAO的面积之差为3，且这条抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为

7

2

，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．（本题的图形仅供分析参考用）

解：（1）能判断抛物线开口向下．
∵y=ax²+bx+1经过点A（0，1），
∴点P的位置高于点A，说明点P不是抛物线的最低点，
∴点P是抛物线的最高点．
∴抛物线y=ax²+bx+1的开口向下．

（2）如图，设抛物线与x轴的交点坐标为F（x₁，0）、E（x₂，0），
则x₁＜0，x₂＞0
S_△AEO=

1

2

OE·OA=

1

2

x₂；
S_△AFO=

1

2

OF·OA=-

1

2

x₁
∵S_△AEO-S_△AFO=3
∴

1

2

x₂-（-

1

2

x₁）=3，即x₁+x₂=6
∵x₁+x₂=

-b+ b2-4a

2a

+

-b- b2-4a

2a

=-

b

a

∴-

b

a

=6，即b=-6a①
另一方面，设直线AD的解析式为y=kx+m，
并把点A（0，1）、D（4，3）的坐标代入解析式得

1=0k+m 3=4k+m

，解得

k= 1 2 m=1

，∴y=

1

2

x+1
由于抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为

7

2

，所以纵坐标=

1

2

×

7

2

+1=

11

4

把点（

7

2

，

11

4

）的坐标代入y=ax²+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②组成的方程组得a=-

1

5

，b=

6

5

．
解：（1）能判断抛物线开口向下．
∵y=ax²+bx+1经过点A（0，1），
∴点P的位置高于点A，说明点P不是抛物线的最低点，
∴点P是抛物线的最高点．
∴抛物线y=ax²+bx+1的开口向下．

（2）如图，设抛物线与x轴的交点坐标为F（x₁，0）、E（x₂，0），
则x₁＜0，x₂＞0
S_△AEO=

1

2

OE·OA=

1

2

x₂；
S_△AFO=

1

2

OF·OA=-

1

2

x₁
∵S_△AEO-S_△AFO=3
∴

1

2

x₂-（-

1

2

x₁）=3，即x₁+x₂=6
∵x₁+x₂=

-b+ b2-4a

2a

+

-b- b2-4a

2a

=-

b

a

∴-

b

a

=6，即b=-6a①
另一方面，设直线AD的解析式为y=kx+m，
并把点A（0，1）、D（4，3）的坐标代入解析式得

1=0k+m 3=4k+m

，解得

k= 1 2 m=1

，∴y=

1

2

x+1
由于抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为

7

2

，所以纵坐标=

1

2

×

7

2

+1=

11

4

把点（

7

2

，

11

4

）的坐标代入y=ax²+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②组成的方程组得a=-

1

5

，b=

6

5

．