试题

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求出A、B的坐标和△ABC的面积；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，
①点P在线段BC上移动的过程中，四边形PEDF是否能成为平行四边形？若能，求此时点F的坐标；若不能，请说明理由；
②是否存在一点P，使△BCF的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△BCF的面积最大值．若没有，请说明理由．

解：（1）抛物线y=-x²+2x+3中，令y=0，
则有-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）；
∴S_△ABC=

1

2

AB·OC=

1

2

×4×3=6；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴D（1，4），抛物线的对称轴为x=1；
由于A、B关于x=1对称，连接BC，
则点Q即为直线BC与抛物线对称轴的交点；
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

3k+b=0 b=3

，
解得；

k=-1 b=3

∴直线BC的解析式为y=-x+3；
当x=1时，y=-1+3=2；
∴Q（1，2）；

（3）设F点坐标为（m，-m²+2m+3），则P（m，-m+3）；
易知：D（1，4），E（1，2）；
∴DE=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
①由于PF∥DE，若四边形PFDE是平行四边形，则PF=DE，
即：-m²+3m=2，
解得m=1（舍去），m=2；
∴P（2，1）；
故四边形PFDE能够成为平行四边形，此时P（2，1）；
②设△BFC的面积为S，则有：
S=

1

2

PF·x_B=

1

2

×（-m²+3m）×3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

；
∴当m=

3

2

时，Smax=

27

8

，此时P（

3

2

，

3

2

）；
故△BFC的面积存在最大值

27

8

，此时P点的坐标为P（

3

2

，

3

2

）．
解：（1）抛物线y=-x²+2x+3中，令y=0，
则有-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）；
∴S_△ABC=

1

2

AB·OC=

1

2

×4×3=6；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴D（1，4），抛物线的对称轴为x=1；
由于A、B关于x=1对称，连接BC，
则点Q即为直线BC与抛物线对称轴的交点；
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

3k+b=0 b=3

，
解得；

k=-1 b=3

∴直线BC的解析式为y=-x+3；
当x=1时，y=-1+3=2；
∴Q（1，2）；

（3）设F点坐标为（m，-m²+2m+3），则P（m，-m+3）；
易知：D（1，4），E（1，2）；
∴DE=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
①由于PF∥DE，若四边形PFDE是平行四边形，则PF=DE，
即：-m²+3m=2，
解得m=1（舍去），m=2；
∴P（2，1）；
故四边形PFDE能够成为平行四边形，此时P（2，1）；
②设△BFC的面积为S，则有：
S=

1

2

PF·x_B=

1

2

×（-m²+3m）×3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

；
∴当m=

3

2

时，Smax=

27

8

，此时P（

3

2

，

3

2

）；
故△BFC的面积存在最大值

27

8

，此时P点的坐标为P（

3

2

，

3

2

）．