试题

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=

3

4

S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标．

解：（1）∵顶点坐标为M（1，-4），
∴二次函数为y=（x-1）²-4，
令y=0，则（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设点P到AB的距离为h，
∵S_△PAB=

3

4

S_△MAB，
∴

1

2

AB·h=

3

4

·

1

2

AB·4，
解得h=3，
当点P在x轴下方时，点P的纵坐标是-3，
∴（x-1）²-4=-3，
解得x₁=0，x₂=2，
此时点P的坐标为（0，-3）或（2，-3），
点P在x轴上方时，点P的纵坐标为3，
∴（x-1）²-4=3，
解得x₁=

7

+1，x₂=-

7

+1，
此时点P的坐标为（

7

+1，3）或（-

7

+1，3），
综上所述，点P的坐标为（0，-3），（2，-3），（

7

+1，3），（-

7

+1，3）；

（3）如图，取点M（1，-4）关于y轴的对称点M′（-1，-4），
连接BM′与y轴的交点即为使得△QMB周长最小的点Q，
设直线BM′的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 -k+b=-4

，
解得

k=1 b=-3

，
∴BM′的解析式为y=x-3，
令x=0，则y=-3，
所以，点Q的坐标为P（0，-3）．
解：（1）∵顶点坐标为M（1，-4），
∴二次函数为y=（x-1）²-4，
令y=0，则（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设点P到AB的距离为h，
∵S_△PAB=

3

4

S_△MAB，
∴

1

2

AB·h=

3

4

·

1

2

AB·4，
解得h=3，
当点P在x轴下方时，点P的纵坐标是-3，
∴（x-1）²-4=-3，
解得x₁=0，x₂=2，
此时点P的坐标为（0，-3）或（2，-3），
点P在x轴上方时，点P的纵坐标为3，
∴（x-1）²-4=3，
解得x₁=

7

+1，x₂=-

7

+1，
此时点P的坐标为（

7

+1，3）或（-

7

+1，3），
综上所述，点P的坐标为（0，-3），（2，-3），（

7

+1，3），（-

7

+1，3）；

（3）如图，取点M（1，-4）关于y轴的对称点M′（-1，-4），
连接BM′与y轴的交点即为使得△QMB周长最小的点Q，
设直线BM′的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 -k+b=-4

，
解得

k=1 b=-3

，
∴BM′的解析式为y=x-3，
令x=0，则y=-3，
所以，点Q的坐标为P（0，-3）．