试题

如图1，已知：抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=

1

2

x-2，连接AC．
（1）B、C两点坐标分别为B、C，抛物线的函数关系式为；
（2）求证：△AOC∽△COB；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
（4）在该抛物线上是否存在点Q，使得S_△ABC=S_△ABQ？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

解：（1）在y=

1

2

x-2中，令y=0，则

1

2

x-2=0，解得x=4，则B的坐标是（4，0）．
令x=0，则y=-2，因而C的坐标是（0，-2）．
把B、C的坐标代入二次函数的解析式得：

c=-2 8+4b-2=0

，解得：

b=- 3 2 c=-2

，
则函数的解析式是：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）在y=

1

2

x²-

3

2

x-2中，令y=0，则

1

2

x²-

3

2

x-2=0，解得：x=-1或4，则A的坐标是（-1，0）．
因而OA=1，OB=4，OC=2．
则

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；

（3）A关于对称轴的对称点是B，
则连接BC，与对称轴的交点就是所求的点P．
抛物线的对称轴是：x=-

- 3 2

2× 1 2

=

3

2

，
把x=

3

2

代入y=

1

2

x-2得：y=

3

4

-2=-

5

4

，
则P的坐标是：（

3

2

，-

5

4

）；

（4）∵S_△ABC=

1

2

AB·OC=

1

2

×5×2=5，
S_△ABC=S_△ABQ=5，
∴设Q的纵坐标是m，则

1

2

AB·|m|=5，即

1

2

×5|m|=5，
解得：m=±2，
当m=2时，

1

2

x²-

3

2

x-2=2，解得：x=

3± 41

2

，
当m=-2时，

1

2

x²-

3

2

x-2=-2，解得：x₁=0，x₂=3．
则Q的坐标是：（

3+ 41

2

，2）或（

3- 41

2

，2）或（0，-2）或（3，-2）．