试题

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3），且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求b的值；
（2）点E是y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当线段PQ=

3

4

AB时，求点E的坐标；
（3）若点M在射线CA上运动，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，以M为圆心，MN为半径作⊙M，当⊙M与x轴相切时，求⊙M的半径．

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2×1

=1，
∴b=-2；

（2）∵b=-2，点C（0，-3），
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），
∴AB=4，
又∵PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3，
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥x轴，
∴点P的横坐标为1-

3

2

=-

1

2

，
将点P的横坐标代入y=x²-2x-3中，得y=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）-3=-

7

4

，
∴点P坐标为（-

1

2

，-

7

4

），
∴点F坐标为（0，-

7

4

），
∴FC=-

7

4

-（-3）=

5

4

，
∵PQ垂直平分CE，
∴CE=2FC=2×

5

4

=

5

2

，
∴点E在OC上，且OE=3-

5

2

=

1

2

，
∴点E的坐标为（0，-

1

2

）；


（3）设直线CA的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
所以，直线CA的解析式为y=-3x-3，
设圆心M的坐标（m，-3m-3），
则MN=|m|，
∵⊙M与x轴相切，
∴|-3m-3|=|m|，
∴3m+3=m或3m+3=-m，
∴m=-

3

2

或m=-

3

4

，
∴⊙M的半径为

3

4

或

3

2

．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2×1

=1，
∴b=-2；

（2）∵b=-2，点C（0，-3），
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
点A坐标为（-1，0），点B坐标为（3，0），
∴AB=4，
又∵PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3，
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥x轴，
∴点P的横坐标为1-

3

2

=-

1

2

，
将点P的横坐标代入y=x²-2x-3中，得y=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）-3=-

7

4

，
∴点P坐标为（-

1

2

，-

7

4

），
∴点F坐标为（0，-

7

4

），
∴FC=-

7

4

-（-3）=

5

4

，
∵PQ垂直平分CE，
∴CE=2FC=2×

5

4

=

5

2

，
∴点E在OC上，且OE=3-

5

2

=

1

2

，
∴点E的坐标为（0，-

1

2

）；


（3）设直线CA的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
所以，直线CA的解析式为y=-3x-3，
设圆心M的坐标（m，-3m-3），
则MN=|m|，
∵⊙M与x轴相切，
∴|-3m-3|=|m|，
∴3m+3=m或3m+3=-m，
∴m=-

3

2

或m=-

3

4

，
∴⊙M的半径为

3

4

或

3

2

．