试题

如图，抛物线y=

1

2

x2+bx+c与直线l：y=

3

4

x-1交于点A（4，2）、B（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t．
①用含t的代数式表示DE的长；
②设Rt△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．

解：（1）由题意，知：

1 2 ×42+4b+c=2 c=-1

，
解得

b=- 5 4 c=-1

故抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

5

4

x-1．

（2）①D在y=

1

2

x²-

5

4

x-1上，可设D（t，

1

2

t²-

5

4

t-1），E（t，

3

4

t-1）；
则DE=

3

4

t-1-（

1

2

t²-

5

4

t-1）=-

1

2

t²+2t；
②∵在y=

3

4

x-1中，令y=0得x=

4

3

，
∴直线AB与x轴交于G（

4

3

，0），
∴BG=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，
∴△OBG的周长为1+

4

3

+

5

3

=4；
∵DE∥y轴，
∴△GBO∽△DEF，
∴

p

4

=

- 1 2 t2+2t

5 3

∴p=-

6

5

t²+

24

5

t=-

6

5

（t-2）²+

24

5

，
∴当t=2时，p_max=

24

5

，此时D（2，-

3

2

）．

（3）以点M在y轴左侧为例，如右图；
过M作x轴的垂线，设垂足为R；若点B作MR的垂线，设垂足为S；
∵在△MNR与△BMS中，

∠MNR=∠BMS=90°-∠NMR MN=BM ∠MRN=∠BSM=90°

，
∴△MNR≌△BMS，
MR=BS=OR；
当点M在x轴左侧时，与上相同，所以可设M（a，±a）；
当点M的坐标为（a，a）时，有：

1

2

a²-

5

4

a-1=a，解得：a=

9± 113

4

；
当点M的坐标为（a，-a）时，有：

1

2

a²-

5

4

a-1=-a，解得：a=

1± 33

4

；
综上，点M的坐标为（

9+ 113

4

，

9+ 113

4

），（

9- 113

4

，

9- 113

4

），（

1+ 33

4

，-

1+ 33

4

），（

1- 33

4

，-

1- 33

4

）．
解：（1）由题意，知：

1 2 ×42+4b+c=2 c=-1

，
解得

b=- 5 4 c=-1

故抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

5

4

x-1．

（2）①D在y=

1

2

x²-

5

4

x-1上，可设D（t，

1

2

t²-

5

4

t-1），E（t，

3

4

t-1）；
则DE=

3

4

t-1-（

1

2

t²-

5

4

t-1）=-

1

2

t²+2t；
②∵在y=

3

4

x-1中，令y=0得x=

4

3

，
∴直线AB与x轴交于G（

4

3

，0），
∴BG=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，
∴△OBG的周长为1+

4

3

+

5

3

=4；
∵DE∥y轴，
∴△GBO∽△DEF，
∴

p

4

=

- 1 2 t2+2t

5 3

∴p=-

6

5

t²+

24

5

t=-

6

5

（t-2）²+

24

5

，
∴当t=2时，p_max=

24

5

，此时D（2，-

3

2

）．

（3）以点M在y轴左侧为例，如右图；
过M作x轴的垂线，设垂足为R；若点B作MR的垂线，设垂足为S；
∵在△MNR与△BMS中，

∠MNR=∠BMS=90°-∠NMR MN=BM ∠MRN=∠BSM=90°

，
∴△MNR≌△BMS，
MR=BS=OR；
当点M在x轴左侧时，与上相同，所以可设M（a，±a）；
当点M的坐标为（a，a）时，有：

1

2

a²-

5

4

a-1=a，解得：a=

9± 113

4

；
当点M的坐标为（a，-a）时，有：

1

2

a²-

5

4

a-1=-a，解得：a=

1± 33

4

；
综上，点M的坐标为（

9+ 113

4

，

9+ 113

4

），（

9- 113

4

，

9- 113

4

），（

1+ 33

4

，-

1+ 33

4

），（

1- 33

4

，-

1- 33

4

）．