题目：
（2012·遂宁）已知：如图，直线y=mx+n与抛物线
y=x2+bx+c交于点A（1，0）和点B，与抛物线的对称轴x=-2交于点C（-2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直．
（1）求直线y=mx+n和抛物线
y=x2+bx+c的解析式；
（2）在直线f上是否存在点P，使⊙P与直线y=mx+n和直线x=-2都相切．若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．
答案
解：（1）将A（1，0）、C（-2，4）代入直线y=mx+n得：
，
解得：
，
故直线解析式为：
y=-x+．
将A（1，0）代入抛物线
y=x2+bx+c及对称轴为直线x=-2得：
，
解得：
，
故抛物线解析式为：
y=x2+x-．
（2）存在．
如图1，图形简化为图2
直线f解析式：x=-5，故圆半径R=3，且F（-5，8）．
易得△PEF∽△ADF，△P
1E
1F≌△PEF，其中PE=P
1E
1=R=3，AD=6，FD=8，P
1F=PF．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由
=得：PF=5．
∴PD=13，P
1D=3．
∴
P（-5，13）、P
1（-5，3）．
综上可得存在点P的坐标为（-5，13）或（-5，3）．
（3）如图3：
联立直线与抛物线解析式得：
，
解得交点B的坐标：（-9，
）．
设点M（q，-
q+
），N（q，
q
2+
q-
），
所以：MN=（-
q+
）-（
q
2+
q-
）=-
q
2-
q+3=-
（q+4）
2+
．
S
△ABN=S
△AMN+S
△BMN=
MN·AF+
MN·BE=
MN（AF+BE）=5MN=-
（q+4）
2+
．
当q=-4时，S
△ABN有最大值
；此时：MN=
．
解：（1）将A（1，0）、C（-2，4）代入直线y=mx+n得：
，
解得：
，
故直线解析式为：
y=-x+．
将A（1，0）代入抛物线
y=x2+bx+c及对称轴为直线x=-2得：
，
解得：
，
故抛物线解析式为：
y=x2+x-．
（2）存在．
如图1，图形简化为图2
直线f解析式：x=-5，故圆半径R=3，且F（-5，8）．
易得△PEF∽△ADF，△P
1E
1F≌△PEF，其中PE=P
1E
1=R=3，AD=6，FD=8，P
1F=PF．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF=10，由
=得：PF=5．
∴PD=13，P
1D=3．
∴
P（-5，13）、P
1（-5，3）．
综上可得存在点P的坐标为（-5，13）或（-5，3）．
（3）如图3：
联立直线与抛物线解析式得：
，
解得交点B的坐标：（-9，
）．
设点M（q，-
q+
），N（q，
q
2+
q-
），
所以：MN=（-
q+
）-（
q
2+
q-
）=-
q
2-
q+3=-
（q+4）
2+
．
S
△ABN=S
△AMN+S
△BMN=
MN·AF+
MN·BE=
MN（AF+BE）=5MN=-
（q+4）
2+
．
当q=-4时，S
△ABN有最大值
；此时：MN=
．
（2010·遵义）如图，两条抛物线y1=-
（2004·深圳）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，
（2013·宁波模拟）如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（ ）