试题

（2012·岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C₁，把锅盖纵断面的抛物线记为C₂．
（1）求C₁和C₂的解析式；
（2）如图②，过点B作直线BE：y=

1

3

x-1交C₁于点E（-2，-

5

3

），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C₁或C₂上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由于抛物线C₁、C₂都过点A（-3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x-3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0，-3），则有：
-3=a（0-3）（0+3），a=

1

3

即：抛物线C₁：y=

1

3

x²-3（-3≤x≤3）；
抛物线C₂还经过C（0，1），则有：
1=a（0-3）（0+3），a=-

1

9

即：抛物线C₂：y=-

1

9

x²+1（-3≤x≤3）．

（2）由于直线BE：y=

1

3

x-1必过（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=

1

3

）；
由E点坐标可知：tan∠AOE≠

1

3

，即∠AOE≠∠CBO，所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：
3：

5 10

3

=BP₁：

10

，得：BP₁=

9

5

，OP₁=OB-BP₁=

6

5

；
∴P₁（

6

5

，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

10

：BP₂=3：

5 10

3

，得：BP₂=

50

9

，OP₂=BP₂-OB=

23

9

；
∴P₂（-

23

9

，0）；
综上，符合条件的P点有：P₁（

6

5

，0）、P₂（-

23

9

，0）．
（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=

1

3

x+b；
①当直线l与抛物线C₁只有一个交点时：

1

3

x+b=

1

3

x²-3，即：x²-x-（3b+9）=0，
∴△=1+4（3b+9）=0，
解得，3b+9=-

1

4

，
∴x²-x+

1

4

=0
∴该交点Q₂（

1

2

，-

35

12

）；
Q₂到直线 BE：

1

3

x-y-1=0 的距离：

| 1 2 × 1 3 +(- 35 12 )×(-1)+(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

5 10

8

=

25 10

40

；
②当直线l与抛物线C₂只有一个交点时：

1

3

x+b=-

1

9

x²+1，即：x²+3x+9b-9=0，
∴该交点Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
Q₁到直线 BE：

1

3

x-y-1=0 的距离：

|(- 3 2 )× 1 3 +(-1)× 3 4 +(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

27 10

40

；
∴符合条件的Q点为Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
△EBQ的最大面积：S_max=

1

2

×BE×

27 10

40

=

45

8

．
方法二：
当点Q在C₁上时，可设Q（x，

1

3

x²-3），过Q作QM平行y轴交BE于M，则M（m，

1

3

x-1），
则BM=

1

3

x-1-（

1

3

x²-3）=-

1

3

（x+0.5）²+

25

12

，所以当x=-0.5时BM最大值为

25

12

，
所以 S△EBQ最大=S△EQM+S△BQM=

1

2

（xB-xE）×

25

12

=0.5×5×

25

12

=

125

24

，
同理可得，Q在C ₂上时，最大面积为

45

8

，
综上最大面积为

45

8

．
解：（1）由于抛物线C₁、C₂都过点A（-3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x-3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0，-3），则有：
-3=a（0-3）（0+3），a=

1

3

即：抛物线C₁：y=

1

3

x²-3（-3≤x≤3）；
抛物线C₂还经过C（0，1），则有：
1=a（0-3）（0+3），a=-

1

9

即：抛物线C₂：y=-

1

9

x²+1（-3≤x≤3）．

（2）由于直线BE：y=

1

3

x-1必过（0，-1），所以∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=

1

3

）；
由E点坐标可知：tan∠AOE≠

1

3

，即∠AOE≠∠CBO，所以它们的补角∠EOB≠∠CBx；
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：
①∠CBP₁=∠EBO，且OB：BE=BP₁：BC，即：
3：

5 10

3

=BP₁：

10

，得：BP₁=

9

5

，OP₁=OB-BP₁=

6

5

；
∴P₁（

6

5

，0）；
②∠P₂BC=∠EBO，且BC：BP₂=OB：BE，即：

10

：BP₂=3：

5 10

3

，得：BP₂=

50

9

，OP₂=BP₂-OB=

23

9

；
∴P₂（-

23

9

，0）；
综上，符合条件的P点有：P₁（

6

5

，0）、P₂（-

23

9

，0）．
（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=

1

3

x+b；
①当直线l与抛物线C₁只有一个交点时：

1

3

x+b=

1

3

x²-3，即：x²-x-（3b+9）=0，
∴△=1+4（3b+9）=0，
解得，3b+9=-

1

4

，
∴x²-x+

1

4

=0
∴该交点Q₂（

1

2

，-

35

12

）；
Q₂到直线 BE：

1

3

x-y-1=0 的距离：

| 1 2 × 1 3 +(- 35 12 )×(-1)+(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

5 10

8

=

25 10

40

；
②当直线l与抛物线C₂只有一个交点时：

1

3

x+b=-

1

9

x²+1，即：x²+3x+9b-9=0，
∴该交点Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
Q₁到直线 BE：

1

3

x-y-1=0 的距离：

|(- 3 2 )× 1 3 +(-1)× 3 4 +(-1)|

( 1 3 )2+(-1)2

=

27 10

40

；
∴符合条件的Q点为Q₁（-

3

2

，

3

4

）；
△EBQ的最大面积：S_max=

1

2

×BE×

27 10

40

=

45

8

．
方法二：
当点Q在C₁上时，可设Q（x，

1

3

x²-3），过Q作QM平行y轴交BE于M，则M（m，

1

3

x-1），
则BM=

1

3

x-1-（

1

3

x²-3）=-

1

3

（x+0.5）²+

25

12

，所以当x=-0.5时BM最大值为

25

12

，
所以 S△EBQ最大=S△EQM+S△BQM=

1

2

（xB-xE）×

25

12

=0.5×5×

25

12

=

125

24

，
同理可得，Q在C ₂上时，最大面积为

45

8

，
综上最大面积为

45

8

．