试题

（2013·德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=

OB

OA

=3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（-3，0）．
代入解析式为

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）①∵抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
∴对称轴l=-

b

2a

=-1，
∴E点的坐标为（-1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（-1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴

EM

MP

=

EF

FC

=

DO

OC

=

1

3

，
∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t，
∴P（t，-t²-2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=-t²-2t+3，EM=-1-t，
∴-t²-2t+3=3（-1-t），
解得：t₁=-2，t₂=3（点P在第二象限，所以舍去），
∴t=-2时，y=-（-2）²-2×（-2）+3=3．
∴P（-2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

-3k+b=0 b=1

，
解得：

k= 1 3 b=1

，
∴直线CD的解析式为：y=

1

3

x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，

1

3

t+1），
∴NM=

1

3

t+1．
∴PN=PM-NM=-t²-2t+3-（

1

3

t+1）=-t²-

7

3

t+2．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=

1

2

PN·CM+

1

2

PN·OM
=

1

2

PN（CM+OM）
=

1

2

PN·OC
=

1

2

×3（-t²-

7

3

t+2）
=-

3

2

（t+

7

6

）²+

121

24

，
∴当t=-

7

6

时，S_△PCD的最大值为

121

24

．
解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=

OB

OA

=3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（-3，0）．
代入解析式为

a+b+c=0 9a-3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）①∵抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
∴对称轴l=-

b

2a

=-1，
∴E点的坐标为（-1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（-1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴

EM

MP

=

EF

FC

=

DO

OC

=

1

3

，
∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t，
∴P（t，-t²-2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=-t²-2t+3，EM=-1-t，
∴-t²-2t+3=3（-1-t），
解得：t₁=-2，t₂=3（点P在第二象限，所以舍去），
∴t=-2时，y=-（-2）²-2×（-2）+3=3．
∴P（-2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（-1，4）或（-2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

-3k+b=0 b=1

，
解得：

k= 1 3 b=1

，
∴直线CD的解析式为：y=

1

3

x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，

1

3

t+1），
∴NM=

1

3

t+1．
∴PN=PM-NM=-t²-2t+3-（

1

3

t+1）=-t²-

7

3

t+2．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=

1

2

PN·CM+

1

2

PN·OM
=

1

2

PN（CM+OM）
=

1

2

PN·OC
=

1

2

×3（-t²-

7

3

t+2）
=-

3

2

（t+

7

6

）²+

121

24

，
∴当t=-

7

6

时，S_△PCD的最大值为

121

24

．