试题

（2013·莱芜）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由题意可知

9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=1

．解得

a=- 1 3 b=- 2 3 c=1

．
∴抛物线的表达式为y=-

1

3

x2-

2

3

x+1．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．
设直线MA的表达式为y=kx+b，则

b=1 -3k+b=0

．
解得

k= 1 3 b=1

．
∴直线MA的表达式为y=

1

3

x+1．
设点D的坐标为（x0，-

1

3

x02-

2

3

x0+1），则点F的坐标为（x0，

1

3

x0+1）．
DF=-

1

3

x02-

2

3

x0+1-(

1

3

x0+1)
=-

1

3

x02-x0=-

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．
当x0=-

3

2

时，DF的最大值为

3

4

．
此时-

1

3

x02-

2

3

x0+1=

5

4

，即点D的坐标为（-

3

2

，

5

4

）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，-

1

3

m2-

2

3

m+1）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．
①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(m+3)，即m²+11m+24=0．解得m=-3（舍去）或m=-8．又-3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．
②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(-m-3)，即m²+11m+24=0．
解得m=-3或m=-8．此时点P的坐标为（-8，-15）．
③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则-3(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=m+3，即m²+m-6=0．
解得m=-3（舍去）或m=2．
当m=2时，-

1

3

x02-

2

3

x0+1=-

5

3

．此时点P的坐标为（2，-

5

3

）．
若PN=3NA，则-(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=3(m+3)，即m²-7m-30=0．
解得m=-3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，-39）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8，-15）、（2，-

5

3

）、（10，-39）．
解：由题意可知

9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=1

．解得

a=- 1 3 b=- 2 3 c=1

．
∴抛物线的表达式为y=-

1

3

x2-

2

3

x+1．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．
设直线MA的表达式为y=kx+b，则

b=1 -3k+b=0

．
解得

k= 1 3 b=1

．
∴直线MA的表达式为y=

1

3

x+1．
设点D的坐标为（x0，-

1

3

x02-

2

3

x0+1），则点F的坐标为（x0，

1

3

x0+1）．
DF=-

1

3

x02-

2

3

x0+1-(

1

3

x0+1)
=-

1

3

x02-x0=-

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．
当x0=-

3

2

时，DF的最大值为

3

4

．
此时-

1

3

x02-

2

3

x0+1=

5

4

，即点D的坐标为（-

3

2

，

5

4

）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，-

1

3

m2-

2

3

m+1）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．
①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(m+3)，即m²+11m+24=0．解得m=-3（舍去）或m=-8．又-3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．
②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(-m-3)，即m²+11m+24=0．
解得m=-3或m=-8．此时点P的坐标为（-8，-15）．
③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则-3(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=m+3，即m²+m-6=0．
解得m=-3（舍去）或m=2．
当m=2时，-

1

3

x02-

2

3

x0+1=-

5

3

．此时点P的坐标为（2，-

5

3

）．
若PN=3NA，则-(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=3(m+3)，即m²-7m-30=0．
解得m=-3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，-39）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8，-15）、（2，-

5

3

）、（10，-39）．