试题

如图，抛物线y=-x²+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将A（1，0）代入y=-x²+4x+n中，得：
-1+4+n=0，解得：n=-3
∴抛物线的解析式：y=-x²+4x-3．

（2）当x=0时，y=-x²+4x-3=-3，所以B（0，-3）；
由（1）知，抛物线的对称轴：x=-

b

2a

=2，
因为BC∥x轴，所以B、C关于对称轴x=2对称，则C（4，-3）；
∴S_△ABC=

1

2

·BC·OB=

1

2

×4×3=6．

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，代入A（1，0）、C（4，-3），得：

k+b=0 4k+b=-3

，解得

k=-1 b=1

∴直线AC：y=-x+1；
∵B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点P为直线AC与抛物线对称轴x=2的交点，依题意，有：

y=-x+1 x=2

，解得

x=2 y=-1

∴P（2，-1）．
解：（1）将A（1，0）代入y=-x²+4x+n中，得：
-1+4+n=0，解得：n=-3
∴抛物线的解析式：y=-x²+4x-3．

（2）当x=0时，y=-x²+4x-3=-3，所以B（0，-3）；
由（1）知，抛物线的对称轴：x=-

b

2a

=2，
因为BC∥x轴，所以B、C关于对称轴x=2对称，则C（4，-3）；
∴S_△ABC=

1

2

·BC·OB=

1

2

×4×3=6．

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，代入A（1，0）、C（4，-3），得：

k+b=0 4k+b=-3

，解得

k=-1 b=1

∴直线AC：y=-x+1；
∵B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点P为直线AC与抛物线对称轴x=2的交点，依题意，有：

y=-x+1 x=2

，解得

x=2 y=-1

∴P（2，-1）．