试题

已知：△AOC如图A（-1，0）、C（0，3），把△AOC 以O点为旋转中心顺时针方向旋转
90°，使C与B重合
（1）写出B点的坐标，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式并画出图象；
（2）求抛物线顶点D的坐标，求证：△BCD是直角三角形；
（3）我们知道△DBC是直角三角形，在抛物线上除D点外，是否还存在另外一个点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请用尺规作图画出这样的点；若不存在，请说明理由；
（4）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，射线CH交以O为圆心OC为半径的圆于G，求HG的长．

（1）解：∵点B是由点C顺时针旋转90°得到的，且C（0，3），
∴B（3，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则

0=a-b+c 3=c 0=9a+3b+c

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
∴抛物线的图象为：

（2）证明：∵y=-x²+2x+3．
∴y=-（x-1）²+4
∴D（1，4），
∴DC²=1+1=2，BC²=9+9=18，BD²=16+4=20
∴DC²+BC²=BD^2，
∴△BCD是直角三角形．

（3）解：如图：作BC的中垂线交BC于点M，
在以点M 为圆心，MC为半径画弧，与抛物线相交于点P，
∴点P是所求作的点．

（4）解：∵D（1，4），
∴OH=1，
∴由勾股定理得：HC=

10

，连接EG，
∴∠EGC=∠COH=90°，
∴△COH∽△CGE，
∴

CO

CG

=

CH

CE

，
∴

3

CG

=

10

6

，
∴CG=

9

5

10

，
∴HG=

9

5

10

-

10

=

4

5

10

．

（1）解：∵点B是由点C顺时针旋转90°得到的，且C（0，3），
∴B（3，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则

0=a-b+c 3=c 0=9a+3b+c

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
∴抛物线的图象为：

（2）证明：∵y=-x²+2x+3．
∴y=-（x-1）²+4
∴D（1，4），
∴DC²=1+1=2，BC²=9+9=18，BD²=16+4=20
∴DC²+BC²=BD^2，
∴△BCD是直角三角形．

（3）解：如图：作BC的中垂线交BC于点M，
在以点M 为圆心，MC为半径画弧，与抛物线相交于点P，
∴点P是所求作的点．

（4）解：∵D（1，4），
∴OH=1，
∴由勾股定理得：HC=

10

，连接EG，
∴∠EGC=∠COH=90°，
∴△COH∽△CGE，
∴

CO

CG

=

CH

CE

，
∴

3

CG

=

10

6

，
∴CG=

9

5

10

，
∴HG=

9

5

10

-

10

=

4

5

10

．