试题

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象与二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）当k为何值时且0＜k＜2，求四边形PCMB的面积为

93

16

．
（参考公式：已知两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则线段DE的中点坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)）

解：（1）由y=ax²+bx+c，则得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
故函数解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1） ²+4，
得出点M（1，4）．

（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得：
3=2k，
k=

3

2

，故y=

3

2

x，
由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
解得；

x=- 3 2 y=- 9 4

，
故D点坐标为：（-

3

2

，-

9

4

），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是-

3

2

＜x＜2．

（3）

y=kx y=-x 2+2x+3

，
解得：点D，E坐标为D（

2-k- k2-4k+16

2

，

2-k- k2-4k+16

2

·k），
E（

2-k+ k2-4k+16

2

，

2-k+ k2-4k+16

2

·k），
则点P坐标为P（

2-k

2

，

2-k

2

·k）由0＜k＜2，知点P在第一象限，
由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四边形POMB}=

1×(3+4)

2

+

1

2

×2×4=

15

2

，
则S_{四边形PCMB}=

15

2

-S_△OPC-S_△OPB=

15

2

-

1

2

×3×

2-k

2

-

1

2

×3×

2-k

2

·k，
整理得出：S_{四边形PCMB}=

3

4

（k-

1

2

）²+

93

16

，
要求当k为何值时且0＜k＜2，四边形PCMB的面积为

93

16

，
得出

93

16

=

3

4

（k-

1

2

）²+

93

16

，
即0=

3

4

（k-

1

2

）²，
故当k=

1

2

时，四边形PCMB的面积为

93

16

．
解：（1）由y=ax²+bx+c，则得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
故函数解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1） ²+4，
得出点M（1，4）．

（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得：
3=2k，
k=

3

2

，故y=

3

2

x，
由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
解得；

x=- 3 2 y=- 9 4

，
故D点坐标为：（-

3

2

，-

9

4

），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是-

3

2

＜x＜2．

（3）

y=kx y=-x 2+2x+3

，
解得：点D，E坐标为D（

2-k- k2-4k+16

2

，

2-k- k2-4k+16

2

·k），
E（

2-k+ k2-4k+16

2

，

2-k+ k2-4k+16

2

·k），
则点P坐标为P（

2-k

2

，

2-k

2

·k）由0＜k＜2，知点P在第一象限，
由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四边形POMB}=

1×(3+4)

2

+

1

2

×2×4=

15

2

，
则S_{四边形PCMB}=

15

2

-S_△OPC-S_△OPB=

15

2

-

1

2

×3×

2-k

2

-

1

2

×3×

2-k

2

·k，
整理得出：S_{四边形PCMB}=

3

4

（k-

1

2

）²+

93

16

，
要求当k为何值时且0＜k＜2，四边形PCMB的面积为

93

16

，
得出

93

16

=

3

4

（k-

1

2

）²+

93

16

，
即0=

3

4

（k-

1

2

）²，
故当k=

1

2

时，四边形PCMB的面积为

93

16

．