试题

函数f（x）=x²+mx+m₀（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（1）证明：|1+m₀|≤M；
（2）求M的最小值，并求出当M取最小值时函数f（x）的解析式．

解：（1）证明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m₀|≤M，|f（1）|=|1+m+m₀|≤M，
由公式：|（1-m+m₀）+（1+m+m₀）|≤|1-m+m₀|+|1+m+m₀|，
所以|2+2m₀|≤2M，
|1+m₀|≤M；
（2）∵f（0）=m₀，|f（0）|=|m₀|≤M，
∴|（1+m₀）-m₀|≤|1+m₀|+|m₀|≤2M，
∴M≥

1

2

．
∴M的最小值为

1

2

，
根据题意得出：1-m+m₀=

1

2

，1+m+m₀=

1

2

，
解得：

m=0 m0=- 1 2

，
∴M取最小值时，函数f（x）的解析式为：y=x²-

1

2

．
解：（1）证明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m₀|≤M，|f（1）|=|1+m+m₀|≤M，
由公式：|（1-m+m₀）+（1+m+m₀）|≤|1-m+m₀|+|1+m+m₀|，
所以|2+2m₀|≤2M，
|1+m₀|≤M；
（2）∵f（0）=m₀，|f（0）|=|m₀|≤M，
∴|（1+m₀）-m₀|≤|1+m₀|+|m₀|≤2M，
∴M≥

1

2

．
∴M的最小值为

1

2

，
根据题意得出：1-m+m₀=

1

2

，1+m+m₀=

1

2

，
解得：

m=0 m0=- 1 2

，
∴M取最小值时，函数f（x）的解析式为：y=x²-

1

2

．