试题

如图，四边形ABCD是菱形，点C的坐标是（2，

3

）．以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．
（1）A、B、D三点的坐标．
（2）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式．
（3）若一动点P自OD中点N出发，先到达x轴上某点（设为点E）再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）最后运动到点D，求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点，
∴CM为抛物线的对称轴，
∴CM⊥AB，
∵点C的坐标是（2，

3

），
∴CD=AB=BC=AD=2，CM=

3

，
∴sin∠ABC=

CM

BC

=

3

2

，
∴∠ABC=60°，
∴∠ODA=30°，
∴OA=1，OD=

3

，
∴OB=OA+AB=3，
∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（3，0），点D坐标为（0，

3

）；

（2）设A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
把A，B点的坐标代入得：y=a（x-1）（x-3），
再把C点的坐标代入得：

3

=a（2-1）（2-3），
解得：a=-

3

，
所以y=-

3

(x-1)(x-3)；

（3）如图，作D关于x=2的对称点D′，作N关于x轴对称的N′连接N′D′，交x轴于点E，交x=2于点 F，则E、F为所求点．
∵DD′=4，DN′=

3 3

2

，
∴D′N′=

DN′2+DD′2

=

91

2

，
这个最短总路径的长为

91

2

．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点，
∴CM为抛物线的对称轴，
∴CM⊥AB，
∵点C的坐标是（2，

3

），
∴CD=AB=BC=AD=2，CM=

3

，
∴sin∠ABC=

CM

BC

=

3

2

，
∴∠ABC=60°，
∴∠ODA=30°，
∴OA=1，OD=

3

，
∴OB=OA+AB=3，
∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（3，0），点D坐标为（0，

3

）；

（2）设A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
把A，B点的坐标代入得：y=a（x-1）（x-3），
再把C点的坐标代入得：

3

=a（2-1）（2-3），
解得：a=-

3

，
所以y=-

3

(x-1)(x-3)；

（3）如图，作D关于x=2的对称点D′，作N关于x轴对称的N′连接N′D′，交x轴于点E，交x=2于点 F，则E、F为所求点．
∵DD′=4，DN′=

3 3

2

，
∴D′N′=

DN′2+DD′2

=

91

2

，
这个最短总路径的长为

91

2

．