试题

矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点，
（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；
（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax²+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A₁，点D的对应点为D₁．当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A₁、D₁两点距离之和OA₁+OD₁最短的一点，求此抛物线的解析式．

解：（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6），点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx，得：

64a-8b=0 16a-4b=6

∴

a=- 3 8 b=-3

；

（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：

-8k+n=0 4k+n=6

，
解得：

k= 1 2 n=4

；
故直线y=

1

2

x+4与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）；，

（3）设抛物线现象平移了m个单位，则A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m）
∴D₁′（4，6-m），
令直线A₁D₁′为y=k′x+b′；
∴

-8k′+b′=-m 4k′+b′=-m

∴

k′= 1 2 b′=4-m

∵点O为使OA₁+OD₁最短的点，
∴b′=4-m=0
∴m=4，
即将抛物线向下平移了4个单位；
∴y+4=-

3

8

x²-3x，即此时的解析式为y=-

3

8

x²-3x-4．
解：（1）由矩形的性质可知：B（-8，6），
∴D（-4，6），点D关于y轴对称点D′（4，6），
将A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx，得：

64a-8b=0 16a-4b=6

∴

a=- 3 8 b=-3

；

（2）设直线AD′的解析式为y=kx+n，则：

-8k+n=0 4k+n=6

，
解得：

k= 1 2 n=4

；
故直线y=

1

2

x+4与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）；，

（3）设抛物线现象平移了m个单位，则A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m）
∴D₁′（4，6-m），
令直线A₁D₁′为y=k′x+b′；
∴

-8k′+b′=-m 4k′+b′=-m

∴

k′= 1 2 b′=4-m

∵点O为使OA₁+OD₁最短的点，
∴b′=4-m=0
∴m=4，
即将抛物线向下平移了4个单位；
∴y+4=-

3

8

x²-3x，即此时的解析式为y=-

3

8

x²-3x-4．