试题

如图，顶点为D的抛物线y=x²+bx-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知△BOC是等腰三角形．
（1）求点B的坐标及抛物线y=x²+bx-3的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若点E（x，y）是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式．
②若以A，B，C，E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等，求点E的坐标．

解：（1）B（3，0），
∴9+3b-3=0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴点D的坐标为（1，-4），对称轴为x=1
∴点A的坐标为（-1，0）
过点D作X轴的垂线，垂足为F
∴S_△AOC=

3

2

，S_△BDF=2×4÷2=4，S_梯形OCDF=（3+4）×1÷2=3.5
∴四边形ACDB的面积为1.5+4+3.5=9．

（3）①当E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6（0＜x＜3），
当E在第一象限，S=2x²-4x（x＞3）．
②存在．
当E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6=9，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴点E的坐标为（1，-4）或（2，-3）；
当E在第一象限，S=2x²-4x=9，
解得：x₁=1-

1

2

22

（舍去），x₂=1+

1

2

22

，
∴点E的坐标为(1+

1

2

22

，

3

2

)；
∴点E的坐标为（1，-4）或（2，-3）或(1+

1

2

22

，

3

2

)．
解：（1）B（3，0），
∴9+3b-3=0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴点D的坐标为（1，-4），对称轴为x=1
∴点A的坐标为（-1，0）
过点D作X轴的垂线，垂足为F
∴S_△AOC=

3

2

，S_△BDF=2×4÷2=4，S_梯形OCDF=（3+4）×1÷2=3.5
∴四边形ACDB的面积为1.5+4+3.5=9．

（3）①当E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6（0＜x＜3），
当E在第一象限，S=2x²-4x（x＞3）．
②存在．
当E在第四象限，S=-

3

2

x²+

9

2

x+6=9，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴点E的坐标为（1，-4）或（2，-3）；
当E在第一象限，S=2x²-4x=9，
解得：x₁=1-

1

2

22

（舍去），x₂=1+

1

2

22

，
∴点E的坐标为(1+

1

2

22

，

3

2

)；
∴点E的坐标为（1，-4）或（2，-3）或(1+

1

2

22

，

3

2

)．