试题

题目:
青果学院阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=
1
2
ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点B为抛物线与y轴的交点,求直线AB的解析式;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M,连接PA、PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB
(4)在(2)的条件下,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h、面积为S,请分别写出h和S关于x的函数关系式.
答案
解:(1)设抛物线的解析式为:y1=a(x-1)2+4
把A(3,0)代入解析式求得a=-1
所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3

(2)设直线AB的解析式为:y2=kx+b
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3
把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中
解得:k=-1,b=3
所以y2=-x+3

(3)因为C点坐标为(1,4)
所以当x=1时,y1=4,y2=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=
1
2
×3×2=3
(平方单位)

(4)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x
S=-
3
2
x2+
9
2
x 

解:(1)设抛物线的解析式为:y1=a(x-1)2+4
把A(3,0)代入解析式求得a=-1
所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3

(2)设直线AB的解析式为:y2=kx+b
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为(0,3
把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中
解得:k=-1,b=3
所以y2=-x+3

(3)因为C点坐标为(1,4)
所以当x=1时,y1=4,y2=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=
1
2
×3×2=3
(平方单位)

(4)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x
S=-
3
2
x2+
9
2
x 
考点梳理
二次函数综合题.
(1)由已知条件得出图象顶点坐标,由顶点式求出
(2)利用待定系数法求出直线解析式,
(3)找出三角形的底与高,即可求出三角形的面积,
(4)用x表示出铅垂高为h,即可解决.
此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式,以及待定系数法求解析式和三角形面积求法,综合性较强.
综合题.
找相似题