试题

阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．

解：（1）设抛物线的解析式为：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3

（2）设直线AB的解析式为：y₂=kx+b
由y₁=-x²+2x+3求得B点的坐标为（0，3
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3

（3）因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方单位）

（4）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
S=-

3

2

x2+

9

2

x ．
解：（1）设抛物线的解析式为：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3

（2）设直线AB的解析式为：y₂=kx+b
由y₁=-x²+2x+3求得B点的坐标为（0，3
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3

（3）因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方单位）

（4）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
S=-

3

2

x2+

9

2

x ．