试题

已知，抛物线y=ax²+bx-2与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求出抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入抛物线解析式得：

a+b-2=0① 16a+4b-2=0②

，
②-①×4得：12a=-6，解得a=-

1

2

，
把a=-

1

2

代入①，解得b=

5

2

，
所以方程组的解为：

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴抛物线解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2，
令x=0，解得y=2，则C的坐标为（0，-2）；


（2）存在．根据题意画出图形，如图所示：
设P的坐标为（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）（m＞4），
根据题意得：OA=1，OC=2，OB=4，
则PM=

1

2

m²-

5

2

m+2，MA=MO-OA=m-1，
若△BOC∽△AMP，
∴

OB

MA

=

OC

MP

，即

4

m-1

=

2

1 2 m2- 5 2 m+2

，
化简得：m²-6m+5=0，即（m-1）（m-5）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=5，
则P坐标为（5，-2）；
若△BOC∽△PMA，
∴

OB

MP

=

OC

MA

，即

4

1 2 m2- 5 2 m+2

=

2

m-1

，
化简得：m²-9m+8=0，即（m-1）（m-8）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=8，
则P的坐标为（8，-14），
综上，满足题意的P有两个，其坐标分别为（5，-2）或（8，-14）．
解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入抛物线解析式得：

a+b-2=0① 16a+4b-2=0②

，
②-①×4得：12a=-6，解得a=-

1

2

，
把a=-

1

2

代入①，解得b=

5

2

，
所以方程组的解为：

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴抛物线解析式为y=-

1

2

x²+

5

2

x-2，
令x=0，解得y=2，则C的坐标为（0，-2）；


（2）存在．根据题意画出图形，如图所示：
设P的坐标为（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）（m＞4），
根据题意得：OA=1，OC=2，OB=4，
则PM=

1

2

m²-

5

2

m+2，MA=MO-OA=m-1，
若△BOC∽△AMP，
∴

OB

MA

=

OC

MP

，即

4

m-1

=

2

1 2 m2- 5 2 m+2

，
化简得：m²-6m+5=0，即（m-1）（m-5）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=5，
则P坐标为（5，-2）；
若△BOC∽△PMA，
∴

OB

MP

=

OC

MA

，即

4

1 2 m2- 5 2 m+2

=

2

m-1

，
化简得：m²-9m+8=0，即（m-1）（m-8）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=8，
则P的坐标为（8，-14），
综上，满足题意的P有两个，其坐标分别为（5，-2）或（8，-14）．