试题

（2013·临沂）如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三点在抛物线上，
∴

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=- 5 2

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x-

5

2

；

（2）∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x-

5

2

，
∴其对称轴为直线x=-

b

2a

=-

-2

2× 1 2

=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，-

5

2

），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

5k+b=0 b=- 5 2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x-

5

2

，
当x=2时，y=1-

5

2

=-

3

2

，
∴P（2，-

3

2

）；

（3）存在．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-

5

2

），
∴N₁（4，-

5

2

）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N₂作ND⊥x轴于点D，
在△AN₂D与△M₂CO中，

∠N2AD=∠CM2O AN2=CM2 ∠AN2D=∠M2CO

∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=

5

2

，即N₂点的纵坐标为

5

2

．
∴

1

2

x²-2x-

5

2

=

5

2

，
解得x=2+

14

或x=2-

14

，
∴N₂（2+

14

，

5

2

），N₃（2-

14

，

5

2

）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-

5

2

），（2+

14

，

5

2

）或（2-

14

，

5

2

）．
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三点在抛物线上，
∴

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=- 5 2

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x-

5

2

；

（2）∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x-

5

2

，
∴其对称轴为直线x=-

b

2a

=-

-2

2× 1 2

=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，-

5

2

），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

5k+b=0 b=- 5 2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x-

5

2

，
当x=2时，y=1-

5

2

=-

3

2

，
∴P（2，-

3

2

）；

（3）存在．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-

5

2

），
∴N₁（4，-

5

2

）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N₂作ND⊥x轴于点D，
在△AN₂D与△M₂CO中，

∠N2AD=∠CM2O AN2=CM2 ∠AN2D=∠M2CO

∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=

5

2

，即N₂点的纵坐标为

5

2

．
∴

1

2

x²-2x-

5

2

=

5

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，
解得x=2+

14

或x=2-

14

，
∴N₂（2+

14

，

5

2

），N₃（2-

14

，

5

2

）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-

5

2

），（2+

14

，

5

2

）或（2-

14

，

5

2

）．