试题

（2013·铜仁地区）如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

解：（1）∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x²+bx+c得：

1+b+c=0 c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

．
∴抛物线解析式为：y=x²+2x-3．

（2）令y=0得：0=x²+2x-3，
解得：x₁=1，x₂=-3，
则C点坐标为：（-3，0），AC=4，
故可得S_△ABC=

1

2

AC×OB=

1

2

×4×3=6．

（3）抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意：
讨论：
①当MA=AB时，

22+m2

=

10

，
解得：m=±

6

，
∴M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

）；
②当MB=BA时，

12+(m+3)2

=

10

，
解得：M₃=0，M₄=-6，
∴M₃（-1，0），M₄（-1，-6）（不合题意舍去），
③当MB=MA时，

22+m2

=

12+(m+3)2

，
解得：m=-1，
∴M₅（-1，-1），
答：共存在4个点M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

），M₃（-1，0），M₄（-1，-1）使△ABM为等腰三角形．
解：（1）∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x²+bx+c得：

1+b+c=0 c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

．
∴抛物线解析式为：y=x²+2x-3．

（2）令y=0得：0=x²+2x-3，
解得：x₁=1，x₂=-3，
则C点坐标为：（-3，0），AC=4，
故可得S_△ABC=

1

2

AC×OB=

1

2

×4×3=6．

（3）抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意：
讨论：
①当MA=AB时，

22+m2

=

10

，
解得：m=±

6

，
∴M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

）；
②当MB=BA时，

12+(m+3)2

=

10

，
解得：M₃=0，M₄=-6，
∴M₃（-1，0），M₄（-1，-6）（不合题意舍去），
③当MB=MA时，

22+m2

=

12+(m+3)2

，
解得：m=-1，
∴M₅（-1，-1），
答：共存在4个点M₁（-1，

6

），M₂（-1，-

6

），M₃（-1，0），M₄（-1，-1）使△ABM为等腰三角形．