如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）2-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．（...-青果题库-青果学院

题目：

（2013·玉溪）如图，顶点为A的抛物线y=a（x+2）²-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）求点A，B所在的直线的解析式（关系式）；
（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？等腰梯形？
（4）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ．问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．

答案

解：（1）把（1，0）代入y=a（x+2）²-4，
得a=

4

9

．
∴y=

4

9

（x+2）²-4，
即y=

4

9

x²+

16

9

x-

20

9

．

（2）设直线AB的解析式是y=kx+b．
∵点A（-2，-4），点B（1，0），
∴

-2k+b=-4

k+b=0

　
解得

k=

4

3

b=-

4

3

∴y=

4

3

x-

4

3

．

（3）由题意得OP=t，AB=

(-2-1)2+(-4-0)2

=5=5．
若四边形ABOP为平行四边形，则OP=AB=5，即当t=5时，四边形ABOP为平行四边形．
若四边形ABOP为等腰梯形，连接AP，过点P作PG⊥AB，过点O作OH⊥AB，垂足分别为G、H．
∴△APG≌△BOH．
在Rt△OBM中，
∵OM=

4

3

，OB=1，
∴BM=

5

3

．
∴OH=

4

5

．
∴BH=

3

5

．
∴OP=GH=AB-2BH=

19

5

．
即当t=

19

5

时，四边形ABOP为等腰梯形．

（4）将y=0代入y=

4

9

x²+

16

9

x-

20

9

，得

4

9

x²+

16

9

x-

20

9

=0，
解得x=1或-5．
∴C（-5，0）．
∴OC=5．
∵OM∥AB，AD∥x轴，
∴四边形ABOD是平行四边形．
∴AD=OB=1．
∴点D的坐标是（-3，-4）．
∴S_△DOC=

1

2

×5×4=10．
过点P作PN⊥BC，垂足为N．易证△OPN∽△BOH．
∴

PN

OH

=

OP

OB

，
即

PN

4

5

=

t

1

．
∴PN=

4

5

t．
∴四边形CDPQ的面积S=S_△DOC-S_△OPQ=10-

1

2

×（5-2t）×

4

5

t=

4

5

t²-2t+10．
∴当t=

5

4

时，四边形CDPQ的面积S最小．
此时，点P的坐标是（-

3

5

，-1），点Q的坐标是（-

5

2

，0），
∴PQ=

(-

5

2

+

3

5

)2+(0+1)2

=

362

10

．