试题

已知抛物线y=x²+4ax+3a²（a＞0）
（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为

3

，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．

（1）证明：抛物线y=x²+4ax+3a²开口向上，且a＞0
又△=（4a）²-4×3a²=4a²＞0
∴抛物线必与x轴有两个交点
∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x²+4ax+3a²=0
∴x₁=-a，x₂=-3a²
∴A（-a，0），B（-3a，0）
又圆M与y轴相切，
∴MA=2a
如图在Rt△MAC中，MA²=NA²+NM²即（2a）²=a²+（

3

）²
∴a=±1（负值舍去）
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3

（3）解：P（-2，-1），A（-1，0），C（0，3）
设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b
0=-k+b
∴k=1
b=1
∴y=x+1，令x=0得y=1
∴D（0，1）
∴S_△CPA=S_△PCD-S_△CAD=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1
（1）证明：抛物线y=x²+4ax+3a²开口向上，且a＞0
又△=（4a）²-4×3a²=4a²＞0
∴抛物线必与x轴有两个交点
∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x²+4ax+3a²=0
∴x₁=-a，x₂=-3a²
∴A（-a，0），B（-3a，0）
又圆M与y轴相切，
∴MA=2a
如图在Rt△MAC中，MA²=NA²+NM²即（2a）²=a²+（

3

）²
∴a=±1（负值舍去）
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3

（3）解：P（-2，-1），A（-1，0），C（0，3）
设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b
0=-k+b
∴k=1
b=1
∴y=x+1，令x=0得y=1
∴D（0，1）
∴S_△CPA=S_△PCD-S_△CAD=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1