试题

如图，在直角坐标系内，O为坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右端，OA=AB，分别过点A、B作x轴的垂线，与二次函数y=x²的图象交于C、D两点，分别过点C、D作y轴的垂线，交y轴于点E、F，直线CD交y轴于点H．
（1）验证：S_矩形OACE：S_梯形ECDF=2：9；
（2）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），其他条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由．
（3）如果点A的坐标改为（t，0）（t＞0），二次函数改为y=ax²（a＞0），其他条件不变，记点C、D的横坐标分别为x_C、x_D，点H的横坐标为y_H，试证明：xC·xD=-

1

a

yH．

解：（1）∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，C（1，1），
∴S_矩形OACE=1
∵OA=AB，
∴AB=1，
∴B（2，0），D（2，4）
∴S_梯形ECDF=4.5，
∴S_矩形OACE：S_梯形ECDF=1：4.5=2：9；

（2）（1）的结论仍然成立．
∵当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t²），点D的坐标为（2t，4t²），
∴S_矩形OACE=t³，S_梯形ECDF=4.5t³，
∴S_矩形OACE：S_梯形ECDF=2：9

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax²（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at²），点D坐标为（2t，4at²），
设直线CD的解析式为y=kx+b，则：

tk+b=at2 2tk+b=4at2

，
解得：

k=3at b=-2at2

，
∴直线CD的函数解析式为y=3atx-2at²，则点H的坐标为（0，-2at²），y_H=-2at²．
∵x_C·x_D=2t²，
∴xC·xD=-

1

a

y_H．

解：（1）∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，C（1，1），
∴S_矩形OACE=1
∵OA=AB，
∴AB=1，
∴B（2，0），D（2，4）
∴S_梯形ECDF=4.5，
∴S_矩形OACE：S_梯形ECDF=1：4.5=2：9；

（2）（1）的结论仍然成立．
∵当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t²），点D的坐标为（2t，4t²），
∴S_矩形OACE=t³，S_梯形ECDF=4.5t³，
∴S_矩形OACE：S_梯形ECDF=2：9

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax²（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at²），点D坐标为（2t，4at²），
设直线CD的解析式为y=kx+b，则：

tk+b=at2 2tk+b=4at2

，
解得：

k=3at b=-2at2

，
∴直线CD的函数解析式为y=3atx-2at²，则点H的坐标为（0，-2at²），y_H=-2at²．
∵x_C·x_D=2t²，
∴xC·xD=-

1

a

y_H．