试题

题目：
如图，AB、CD是半径为1的⊙P两条直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧CQB都相切，O、青果学院Q分别为PB、弧CQB上的切点．
（1）试求⊙M的半径r；
（2）以AB为x轴，OM为y轴（分别以OB、OM为正方向）建立直角坐标系，
①设直线y=kx+m过点M、Q，求k，m；·················
②设函数y=x2+bx+c的图象经过点Q、O，求此函数解析式；
③当y=x2+bx+c＜0时，求x的取值范围；
④若直线y=kx+m与抛物线y=x2+bx+c的另一个交点为E，求线段EQ的长度．
答案
青果学院解：（1）由
r
PM
=sin60°=
3
2
，PM+MQ=
2r
3
+r=1，
得r=2
3
-3．（2分）

（2）①点M（0，r），即M(0，2
3
-3)；
点Q(rcos60°，
3
2
)，即Q(
3
-
3
2
，
3
2
)．
由已知直线过点M、Q，得m=2
3
-3，k(
3
-
3
2
)+m=
3
2
，
解得k=
3
，m=2
3
-3． （5分）
②由y=x2+bx+c过点O、Q，则c=0，
(
2
3
-3
2
)2+b(
2
3
-3
2
)=
3
2
，得b=
7
2
，
即得y=x2+
7
2
x．（8分）
③令x2+
7
2
x=0，则x1=-
7
2
，x2=0，
即得当-
7
2
＜x＜0时，y＜0．
④由已知得y=
3
x+2
3
-3，y=x2+
7
2
x，
消去y，得x2+(
7
2
-
3
)x+3-2
3
=0． （12分）
设点E的横坐标为x2，点Q的横坐标为x1=
3
-
3
2
，
由根与系数的关系得x2=-2，
则|x1-x2|=|
3
-
3
2
+2|=
3
+
1
2
（14分）
进而得线段EQ的长为2
3
+1． （15分）
青果学院解：（1）由
r
PM
=sin60°=
3
2
，PM+MQ=
2r
3
+r=1，
得r=2
3
-3．（2分）

（2）①点M（0，r），即M(0，2
3
-3)；
点Q(rcos60°，
3
2
)，即Q(
3
-
3
2
，
3
2
)．
由已知直线过点M、Q，得m=2
3
-3，k(
3
-
3
2
)+m=
3
2
，
解得k=
3
，m=2
3
-3． （5分）
②由y=x2+bx+c过点O、Q，则c=0，
(
2
3
-3
2
)2+b(
2
3
-3
2
)=
3
2
，得b=
7
2
，
即得y=x2+
7
2
x．（8分）
③令x2+
7
2
x=0，则x1=-
7
2
，x2=0，
即得当-
7
2
＜x＜0时，y＜0．
④由已知得y=
3
x+2
3
-3，y=x2+
7
2
x，
消去y，得x2+(
7
2
-
3
)x+3-2
3
=0． （12分）
设点E的横坐标为x2，点Q的横坐标为x1=
3
-
3
2
，
由根与系数的关系得x2=-2，
则|x1-x2|=|
3
-
3
2
+2|=
3
+
1
2
（14分）
进而得线段EQ的长为2
3
+1． （15分）
考点梳理
二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；切线长定理．
（1）利用在Rt△POM中
r
PM
=sin60°=
3
2
与PQ=PM+MQ建立起⊙P半径与⊙M半径r间的关系，从而求得r的值．
（2）①首先根据半径r与∠QPB=60°确定出M、Q两点的坐标，再代入y=kx+m，解方程求得k、m的值．
②首先根据y=x2+bx+c的图象经过点O，确定出c=0，再将Q点的坐标代入y=x2+bx+c，求得b的值，此函数解析式确定．
③将抛物线y=x2+bx+c首先转化为一元二次方程x2+bx+c=0的值x1、x2（其中x1≤x2）的值，那么y=x2+bx+c＜0关于x的取值范围即为x1＜x＜x2．
④通过上面①②知两解析式分别是y=
3
x+2
3
-3、y=x2+
7
2
x首先求得E点坐标，Q点的坐标通过图不难确定，那么再求的两点间的距离即可．
本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
数形结合．
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