试题

如图，抛物线y=-x²+

3

2

x+1与x轴交于A、B，与y轴交于点C，在抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：在抛物线上存在点P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9），理由如下：
∵y=-x²+

3

2

x+1，
∴当y=0时，-x²+

3

2

x+1=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴A（-

1

2

，0），B（2，0）；
当x=0时，y=1，
∴C（0，1）．
∴AC²=

1

4

+1=

5

4

，BC²=1+4=5，AB²=（2+

1

2

）²=

25

4

；
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形时，分两种情况：
①如果BC、AP为底，AC为高，如图1；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+1；
设过点A且平行于BC的直线AP的解析式为y=-

1

2

x+m，
则有：（-

1

2

）×（-

1

2

）+m=0，m=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

．
由

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，解得

x1=- 1 2 y1=0

，

x2= 5 2 y2=- 3 2

，
∴点P（

5

2

，-

3

2

）；
②如果AC、BP为底，BC为高，如图2；
∵A（-

1

2

，0），C（0，1），
∴直线AC的解析式为：y=2x+1；
设过点B且平行于AC的直线BP的解析式为y=2x+n，
则有：2×2+n=0，n=-4；
∴y=2x-4．
由

y=2x-4 y=-x2+ 3 2 x+1

，解得

x1=2 y1=0

，

x2=- 5 2 y2=-9

，
∴点P（-

5

2

，-9）；
综上可知，当点P的坐标为（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
解：在抛物线上存在点P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9），理由如下：
∵y=-x²+

3

2

x+1，
∴当y=0时，-x²+

3

2

x+1=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=2，
∴A（-

1

2

，0），B（2，0）；
当x=0时，y=1，
∴C（0，1）．
∴AC²=

1

4

+1=

5

4

，BC²=1+4=5，AB²=（2+

1

2

）²=

25

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；
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形时，分两种情况：
①如果BC、AP为底，AC为高，如图1；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-

1

2

x+1；
设过点A且平行于BC的直线AP的解析式为y=-

1

2

x+m，
则有：（-

1

2

）×（-

1

2

）+m=0，m=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

．
由

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，解得

x1=- 1 2 y1=0

，

x2= 5 2 y2=- 3 2

，
∴点P（

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，-

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）；
②如果AC、BP为底，BC为高，如图2；
∵A（-

1

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，0），C（0，1），
∴直线AC的解析式为：y=2x+1；
设过点B且平行于AC的直线BP的解析式为y=2x+n，
则有：2×2+n=0，n=-4；
∴y=2x-4．
由

y=2x-4 y=-x2+ 3 2 x+1

，解得

x1=2 y1=0

，

x2=- 5 2 y2=-9

，
∴点P（-

5

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，-9）；
综上可知，当点P的坐标为（

5

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，-

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）或（-

5

2

，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．