试题

已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，将此抛物线向右平移得y=x²+mx+n，平移后的抛物线与原抛物线的交点为G，与x轴的交点为A₁，B₁，若△AGB₁为等腰直角三角形，求m，n的值．

解：令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
设向右平移a个单位（a＞0），则AB₁=4+a，
∵△AGB₁为等腰直角三角形，
∴点G的横坐标为

4+a

2

-1=

2+a

2

，
纵坐标为-

4+a

2

，
∵点G是两个抛物线的交点，
∴（

2+a

2

）²-2×

2+a

2

-3=-

4+a

2

，
整理得，a²+2a-8=0，
解得a₁=2，a₂=-4（舍去），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴原抛物线的顶点坐标为（1，-4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（3，-4），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-3）²-4=x²-6x+5，
又∵平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+n，
∴m=-6，n=5．
解：令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
设向右平移a个单位（a＞0），则AB₁=4+a，
∵△AGB₁为等腰直角三角形，
∴点G的横坐标为

4+a

2

-1=

2+a

2

，
纵坐标为-

4+a

2

，
∵点G是两个抛物线的交点，
∴（

2+a

2

）²-2×

2+a

2

-3=-

4+a

2

，
整理得，a²+2a-8=0，
解得a₁=2，a₂=-4（舍去），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴原抛物线的顶点坐标为（1，-4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（3，-4），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-3）²-4=x²-6x+5，
又∵平移后的抛物线解析式为y=x²+mx+n，
∴m=-6，n=5．