试题

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，S_△ABC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，CD交抛物线于P，若PC=PD，求P点坐标．

解：（1）将x=0代入y=ax²+bx-3，故C（0，-3），则OC=3．
设B（x，0）．
∵S_△ABC=6．
∴

1

2

AB·OC=6，即

1

2

（x+1）×3=6，解得x=3．
∴A（-1，0）、B（3，0）．
则由题意，得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得，

a=1 b=-2

，
∴该抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）如图，连接PB．
∵点P位于抛物线上，
∴设P（x、x²-2x-3）．
∵以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，PC=PD，
∴PC=PB，
∴

x2+(x2-2x-3+3)2

=

(x-3)2+(x2-2x-3)2

，即x²-x-2=0，
解得，x=

1± 13

2

，
当x₁=

1+ 13

2

时，y₁=

-1- 13

2

，即P₁（

1+ 13

2

，

-1- 13

2

）．
当x₂=

1- 13

2

时，y₂=，即P₂（

1- 13

2

，

-1+ 13

2

）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（

1+ 13

2

，

-1- 13

2

）和（

1- 13

2

，

-1+ 13

2

）．
解：（1）将x=0代入y=ax²+bx-3，故C（0，-3），则OC=3．
设B（x，0）．
∵S_△ABC=6．
∴

1

2

AB·OC=6，即

1

2

（x+1）×3=6，解得x=3．
∴A（-1，0）、B（3，0）．
则由题意，得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得，

a=1 b=-2

，
∴该抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）如图，连接PB．
∵点P位于抛物线上，
∴设P（x、x²-2x-3）．
∵以点B为直角顶点，BC为直角边作直角△BCD，PC=PD，
∴PC=PB，
∴

x2+(x2-2x-3+3)2

=

(x-3)2+(x2-2x-3)2

，即x²-x-2=0，
解得，x=

1± 13

2

，
当x₁=

1+ 13

2

时，y₁=

-1- 13

2

，即P₁（

1+ 13

2

，

-1- 13

2

）．
当x₂=

1- 13

2

时，y₂=，即P₂（

1- 13

2

，

-1+ 13

2

）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（

1+ 13

2

，

-1- 13

2

）和（

1- 13

2

，

-1+ 13

2

）．