试题

如图，抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2，经过点C（-3，h），CD⊥x轴，垂足为D点，Rt△AOB≌Rt△CDA，A、B分别在x轴，y轴上，在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，说请明理由．

解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．
把点C（-3，h）代入抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
则h=

1

2

×（-3）²+

1

2

×（-3）-2=1，
则C点坐标为（-3，1），
∵Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴OA=CD=1，
∴OB=AD=3-1=2，
以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE≌△AQG≌△BAO，

∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1）．
y=

1

2

x²+

1

2

x-2，当x=2时，y=1；当x=1时，y=-1．
∴P、Q在抛物线上．
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形．
解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．
把点C（-3，h）代入抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
则h=

1

2

×（-3）²+

1

2

×（-3）-2=1，
则C点坐标为（-3，1），
∵Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴OA=CD=1，
∴OB=AD=3-1=2，
以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE≌△AQG≌△BAO，

∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1）．
y=

1

2

x²+

1

2

x-2，当x=2时，y=1；当x=1时，y=-1．
∴P、Q在抛物线上．
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1）、Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形．