试题

（1）证明：若x取任意整数时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值，那么2a、a-b、c都是整数．
（2）写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．

解：（1）若x取整数值时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值，则当x=0时，y₀=c，为整数，故c为整数值；
当x=-1时，y_-1=a-b+c为整数，于是a-b=y_-1-y₀为整数；
当x=-2时，y_-2=4a-2b+c为整数，
于是2a=y_-2-2y_-1+y0为整数，于是，2a、a-b、c都是整数；
（2）所求的逆命题为：2a、a-b、c都是整数，那么x取任意整数时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值，这是一个真命题．
证明：若c，a-b，2a都是整数，y=ax²+bx+c=ax（x+1）-（a-b）x+c，
当x为整数时，x（x+1）是偶数，
故

1

2

x（x+1）必是整数，
由2a是整数得2a×

1

2

x（x+1）是整数，
又有a-b，c是整数得-（a-b）x+c是整数，
因此，当x取任意整数时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值．
解：（1）若x取整数值时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值，则当x=0时，y₀=c，为整数，故c为整数值；
当x=-1时，y_-1=a-b+c为整数，于是a-b=y_-1-y₀为整数；
当x=-2时，y_-2=4a-2b+c为整数，
于是2a=y_-2-2y_-1+y0为整数，于是，2a、a-b、c都是整数；
（2）所求的逆命题为：2a、a-b、c都是整数，那么x取任意整数时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值，这是一个真命题．
证明：若c，a-b，2a都是整数，y=ax²+bx+c=ax（x+1）-（a-b）x+c，
当x为整数时，x（x+1）是偶数，
故

1

2

x（x+1）必是整数，
由2a是整数得2a×

1

2

x（x+1）是整数，
又有a-b，c是整数得-（a-b）x+c是整数，
因此，当x取任意整数时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值．