试题

抛物线y=x²，y=-

1

2

x2和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．
（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线y=

2

x+b与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．

解：由题意知：A（a，a²），B（a，-

1

2

a²），则：
OA²=a²+a⁴，OB²=a²+

1

4

a⁴，AB²=

9

4

a⁴；
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA²+OB²=AB²，即a²+a⁴+a²+

1

4

a⁴=

9

4

a⁴，
解得a=

2

（负值舍去）；
故A（

2

，2），B（

2

，-1）；
①设AB的中点为C，则C（

2

，

1

2

），
若所求直线将△AOBM的面积两等分，那么直线必过点C；
设此直线的解析式为：y=kx，则有：

2

k=

1

2

，k=

2

4

；
故所求的直线为：y=

2

4

x；
②将点A的坐标代入直线y=

2

x+b中，得：2+b=2，b=0；
将点B的坐标代入直线y=

2

x+b中，得：2+b=-1，b=-3；
故b的取值范围是：-3≤b≤0．
解：由题意知：A（a，a²），B（a，-

1

2

a²），则：
OA²=a²+a⁴，OB²=a²+

1

4

a⁴，AB²=

9

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a⁴；
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：
OA²+OB²=AB²，即a²+a⁴+a²+

1

4

a⁴=

9

4

a⁴，
解得a=

2

（负值舍去）；
故A（

2

，2），B（

2

，-1）；
①设AB的中点为C，则C（

2

，

1

2

），
若所求直线将△AOBM的面积两等分，那么直线必过点C；
设此直线的解析式为：y=kx，则有：

2

k=

1

2

，k=

2

4

；
故所求的直线为：y=

2

4

x；
②将点A的坐标代入直线y=

2

x+b中，得：2+b=2，b=0；
将点B的坐标代入直线y=

2

x+b中，得：2+b=-1，b=-3；
故b的取值范围是：-3≤b≤0．