试题

选做题：已知二次函数y=ax²-ax+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，x₁＜x₂，交y轴的负半轴于C点，且AB=3，tan∠BAC-tan∠ABC=1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S_△PAC=6？若存在，请你求出点P的坐标；不存在，说明理由．

解：（1）由已知，有

x2-x1=3 x1+x2=1

解得x₁=-1，x₂=2．
x₁x₂=-2=

m

a

，
由已知三角函数关系知

OC

OA

-

OC

OB

=1，
即

OC

1

-

OC

2

=1，得OC=2，
∴截距m=-2，
则a=1
∴y=x²-x-2．

（2）存在．
过点P作AC的平行线，与y轴交于E，与x轴交于F．
由S_△PAC=S_△EAC=S_△FAC=6，
求得E（0，10），F（5，0），
得到直线EF的解析式为y=-2x+10，
解-2x+10=x²-x-2，
可得x₁=-4，x₂=3，
于是P点的坐标为P₁（3，4），P₂（-4，18），
因为P点的坐标在第一象限，
所以P点的坐标为P（3，4）．
解：（1）由已知，有

x2-x1=3 x1+x2=1

解得x₁=-1，x₂=2．
x₁x₂=-2=

m

a

，
由已知三角函数关系知

OC

OA

-

OC

OB

=1，
即

OC

1

-

OC

2

=1，得OC=2，
∴截距m=-2，
则a=1
∴y=x²-x-2．

（2）存在．
过点P作AC的平行线，与y轴交于E，与x轴交于F．
由S_△PAC=S_△EAC=S_△FAC=6，
求得E（0，10），F（5，0），
得到直线EF的解析式为y=-2x+10，
解-2x+10=x²-x-2，
可得x₁=-4，x₂=3，
于是P点的坐标为P₁（3，4），P₂（-4，18），
因为P点的坐标在第一象限，
所以P点的坐标为P（3，4）．