试题

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中点A坐标是（-4，0），点C坐标为（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

解：（1）将A和C点坐标代入解析式得：

0=8-4b+c -2=c

，
解得：

b= 3 2 c=-2

；
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC²=AO²+OC²=20，BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴

BE

AB

=

BF

BC

=

1

3

；
∵AB=5，
∴BE=

5

3

；
OE=BE-OB=

2

3

，故E（-

2

3

，0）；

（3）设P点坐标为（m，

1

2

m²+

3

2

m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=-

1

2

；
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x-2；
∴Q点坐标为（m，-

1

2

m-2）；
则PQ=-

1

2

m-2-（

1

2

m²+

3

2

m-2）=-

1

2

m²-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．
解：（1）将A和C点坐标代入解析式得：

0=8-4b+c -2=c

，
解得：

b= 3 2 c=-2

；
∴y=

1

2

x²+

3

2

x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC²=AO²+OC²=20，BC²=BO²+OC²=5；
而AB²=25=AC²+BC²；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S_△CEF=2S_△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴

BE

AB

=

BF

BC

=

1

3

；
∵AB=5，
∴BE=

5

3

；
OE=BE-OB=

2

3

，故E（-

2

3

，0）；

（3）设P点坐标为（m，

1

2

m²+

3

2

m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=-

1

2

；
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x-2；
∴Q点坐标为（m，-

1

2

m-2）；
则PQ=-

1

2

m-2-（

1

2

m²+

3

2

m-2）=-

1

2

m²-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．