试题

已知二次函数y=-x²+4x-3
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和图象与坐标轴交点的坐标；
（2）在方格纸中建立适当的坐标系，并画出函数的大致图象；
（3）若图象的顶点D，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，在此图象上是否存在点P，使得S_△ABP=

1

3

S_△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下；
对称轴是直线x=-

b

2a

=2，

4ac-b2

4a

=1，
故抛物线的顶点坐标为（2，1）；
令x=0，则y=-3；
令y=0，则-x²+4x-3=0，
故抛物线与坐标轴的交点是（0，-3），（3，0），（1，0）；

（2）函数图象如图所示：
；

（3）

1

3

S_△ABC=

1

3

×

1

2

×2×3=1，
假设存在点P，当点P在x轴上方时，

S_△ABP=

1

3

S_△ABC=1，即

1

2

AB×P_纵=1，
解得：P_纵=1，即可得此时点P的坐标为（2，1）；
当点P在x轴下方时，即可得

1

2

AB×|-x²+4x-3|=1，即x²-4x+3=1，
解得：x₁=2+

2

，x₂=2-

2

，
则点P的坐标为（2+

2

，-1）或（2-

2

，-1）．
综上可得P₁（2，1），P₂（2+

2

，-1），P₃（2-

2

，-1）
解：（1）∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下；
对称轴是直线x=-

b

2a

=2，

4ac-b2

4a

=1，
故抛物线的顶点坐标为（2，1）；
令x=0，则y=-3；
令y=0，则-x²+4x-3=0，
故抛物线与坐标轴的交点是（0，-3），（3，0），（1，0）；

（2）函数图象如图所示：
；

（3）

1

3

S_△ABC=

1

3

×

1

2

×2×3=1，
假设存在点P，当点P在x轴上方时，

S_△ABP=

1

3

S_△ABC=1，即

1

2

AB×P_纵=1，
解得：P_纵=1，即可得此时点P的坐标为（2，1）；
当点P在x轴下方时，即可得

1

2

AB×|-x²+4x-3|=1，即x²-4x+3=1，
解得：x₁=2+

2

，x₂=2-

2

，
则点P的坐标为（2+

2

，-1）或（2-

2

，-1）．
综上可得P₁（2，1），P₂（2+

2

，-1），P₃（2-

2

，-1）