试题

题目：
已知抛物线y=x2+mx+n经过点（2，-1），且与x轴交于两点A（a，0）B（b，0），若点P为该抛物线的顶点，求使△PAB面积最小时抛物线的解析式．
答案
解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+mx+n上，
∴a+b=-m，ab=n，
又∵|AB|=|a-b|=y=x2+mx+n经过（2，-1），代入得，n=-2m-5，
∴|AB|=
m2+8m+20
，P点纵坐标为-
1
4
m2-2m-5，
S△PAB=
1
4
(m2+8m+20)3
=
1
4
[(m+4)2+4]3
，
可见，当m=-4时S△PAB最小，
解析式为y=x2-4x+3．
解：由题意知4+2m+n=-1，即n=-2m-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+mx+n上，
∴a+b=-m，ab=n，
又∵|AB|=|a-b|=y=x2+mx+n经过（2，-1），代入得，n=-2m-5，
∴|AB|=
m2+8m+20
，P点纵坐标为-
1
4
m2-2m-5，
S△PAB=
1
4
(m2+8m+20)3
=
1
4
[(m+4)2+4]3
，
可见，当m=-4时S△PAB最小，
解析式为y=x2-4x+3．
考点梳理
二次函数综合题．
A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为m、n的表达式，根据顶点坐标公式得P（-
m
2
，
4n-m2
4
），故有S△APB=
1
2
|AB|·|
4n-m2
4
|，将点（2，-1）代入解析式得4+2m+n=-1，即n=-2m-5，转化为关于p的二次函数，求面积最小时m、n的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点与顶点构成的三角形的面积问题，将原题转化为二次函数最值问题是解答的基本思路．
计算题．
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