试题

已知两个二次函数y_A=x²+3mx-2和y_B=2x²+6mx-2．其中m＞0．构造函数y：
当y_A＞y_B时．设y=y_A；
当y_A≤y_B时，设y=y_B．
若自变量x在-2≤x≤1的范围内变化，求函数y的最大值与最小值．

解：根据y=y_A得：y=x²+3mx-2，
当y_A＞y_B时，y=2x²+6mx-2，
当y_A≤y_B时，易看出已知的两个二次函数的图象皆开口向上，
有共同的对称轴x=-

3m

2

＜0，在直线y=-2上有两个交点，
其中一点为（0，-2），
描绘函数y_A=x²+3mx-2与y_B=2x²+6mx-2的图象，
则两曲线中函数值相对较大部分组成的曲线（即两交点左右两虚线及中间实线），
就是所求函数的图象．
讨论函数y在-2≤x≤l时的最值：
（1）m≥

4

3

时，y的最小值是：y=2-6m，最大值是y=6m，
（2）当

1

3

＜m＜

4

3

时．y的最小值是：y=-

9m2

4

-2，最大值是y=6m；

（3）0＜m＜

1

3

时，y的最小值是：y=-

9m2

4

-2．最大值是y=6-12m．

解：根据y=y_A得：y=x²+3mx-2，
当y_A＞y_B时，y=2x²+6mx-2，
当y_A≤y_B时，易看出已知的两个二次函数的图象皆开口向上，
有共同的对称轴x=-

3m

2

＜0，在直线y=-2上有两个交点，
其中一点为（0，-2），
描绘函数y_A=x²+3mx-2与y_B=2x²+6mx-2的图象，
则两曲线中函数值相对较大部分组成的曲线（即两交点左右两虚线及中间实线），
就是所求函数的图象．
讨论函数y在-2≤x≤l时的最值：
（1）m≥

4

3

时，y的最小值是：y=2-6m，最大值是y=6m，
（2）当

1

3

＜m＜

4

3

时．y的最小值是：y=-

9m2

4

-2，最大值是y=6m；

（3）0＜m＜

1

3

时，y的最小值是：y=-

9m2

4

-2．最大值是y=6-12m．