试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=
4
5
．CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．
答案
青果学院解：过点D作DN⊥BC，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，
∵sin∠ABC=
4
5
，AO=8，
∴sin∠ABC=
AO
AB
=
8
AB
=
4
5
，
∴AB=10，
BO=
102-82
=6，
∴B点坐标为：（6，0），C点坐标为：（-6，0），
∵S△COE=S△ADE，
∴S△CDB=S△ABO，
∴DN×BC=AO×BO，
∴DN=
AO·BO
BC
=
8×6
12
=4，
∵ND∥AO，
∴
DN
AO
=
NB
BO
=
1
2
，
∴NO=NB=3，
∴
EO
ND
=
CO
CN
，
∴
EO
4
=
6
9
，
解得：EO=
8
3
，
∴E点坐标为：（0，-
8
3
），
∵经过B，C，E三点的图象对称轴为y轴，
∴经过B，C，E三点的解析式为：y=ax2+c，
将E点坐标为：（0，-
8
3
），B点坐标为：（6，0）代入解析式得：
c=-
8
3
36a+c=0
，
解得：
a=
2
27
c= -
8
3
，
∴这条抛物线对应的二次函数的解析式为：y=
2
27
x2-
8
3
．
青果学院解：过点D作DN⊥BC，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，
∵sin∠ABC=
4
5
，AO=8，
∴sin∠ABC=
AO
AB
=
8
AB
=
4
5
，
∴AB=10，
BO=
102-82
=6，
∴B点坐标为：（6，0），C点坐标为：（-6，0），
∵S△COE=S△ADE，
∴S△CDB=S△ABO，
∴DN×BC=AO×BO，
∴DN=
AO·BO
BC
=
8×6
12
=4，
∵ND∥AO，
∴
DN
AO
=
NB
BO
=
1
2
，
∴NO=NB=3，
∴
EO
ND
=
CO
CN
，
∴
EO
4
=
6
9
，
解得：EO=
8
3
，
∴E点坐标为：（0，-
8
3
），
∵经过B，C，E三点的图象对称轴为y轴，
∴经过B，C，E三点的解析式为：y=ax2+c，
将E点坐标为：（0，-
8
3
），B点坐标为：（6，0）代入解析式得：
c=-
8
3
36a+c=0
，
解得：
a=
2
27
c= -
8
3
，
∴这条抛物线对应的二次函数的解析式为：y=
2
27
x2-
8
3
．
考点梳理
二次函数综合题．
首先利用锐角三角函数的关系得出AB的长，再利用勾股定理求出BO的长，再利用S△CDB=S△ABO得出DN的长，进而利用平行线的性质得出E点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可．
此题主要考查了锐角三角函数的计算、平行线的性质、待定系数法求二次函数解析式等知识，根据平行线的性质得出E点坐标是解题关键．
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