题目:
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为M(2,0),直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点,其中点A在y轴上,P为线段AB上一动点(除A,B两端点外),过P作x轴的垂线与二次函数的图象交

于点Q,设线段PQ的长为l,点P的横坐标为x.
(1)求出l与x之间的函数关系式,并求出l的取值范围;
(2)在线段AB上是否存在一点P,使四边形PQMA为梯形?若存在,求出点P的坐标及梯形PQMA的面积;若不存在,请说明理由;
(3)当2<x<6时,延长PQ、AM交于F,连接NF、PM,求证:NF⊥PM.
答案
解:(1)∵抛物线的顶点为M(2,0),
∴设其解析式为y=a(x-2)
2.
∵抛物线经过直线y=x+2与y轴的交点A(0,2),
∴
a=,
∴抛物线的解析式为
y=(x-2)2.
∵PQ⊥x轴且横坐标为x,
∴
l=(x+2)-(x-2)2=-x2+3x.
由
得点B的坐标为B(6,8),
∵点p在线段AB上运动,
∴0<x<6.
∵
l=-x2+3x=-(x-3)2+,
∴当x=3时,
l最大=.
∴
0<l<.…(5分)
(2)作MQ∥AP.过M作MD∥PQ,MD交AB于N,
则四边形PQMD为平行四边形.
∴MD=PQ,∵M(2,0),∴D(2,4),∴MD=4.
∴
PQ=-x2+3x=MD=4.
∴x
2-6x+8=0,∴x
1=2,x
2=4.
∵2<x<6,∴x=4.
∴P(4,6),Q(4,2).
∴存在点P(4,6),使四边形PQMA为梯形.
如图,

S
梯形PQMA=S
梯形PEOA-S
△AOM-S
△MQE=
(2+6)×4-×2×2-×2×2=12.
(3):∵直线y=x+2与x轴,y轴相交于点N,A.
∴ON=OA=2,又
y=(x-2)2∵OA=OM=2.

∴FA⊥NP,
∵NE⊥PF,
∴点M是△PNF的垂心.
∴NF⊥PM.
解:(1)∵抛物线的顶点为M(2,0),
∴设其解析式为y=a(x-2)
2.
∵抛物线经过直线y=x+2与y轴的交点A(0,2),
∴
a=,
∴抛物线的解析式为
y=(x-2)2.
∵PQ⊥x轴且横坐标为x,
∴
l=(x+2)-(x-2)2=-x2+3x.
由
得点B的坐标为B(6,8),
∵点p在线段AB上运动,
∴0<x<6.
∵
l=-x2+3x=-(x-3)2+,
∴当x=3时,
l最大=.
∴
0<l<.…(5分)
(2)作MQ∥AP.过M作MD∥PQ,MD交AB于N,
则四边形PQMD为平行四边形.
∴MD=PQ,∵M(2,0),∴D(2,4),∴MD=4.
∴
PQ=-x2+3x=MD=4.
∴x
2-6x+8=0,∴x
1=2,x
2=4.
∵2<x<6,∴x=4.
∴P(4,6),Q(4,2).
∴存在点P(4,6),使四边形PQMA为梯形.
如图,

S
梯形PQMA=S
梯形PEOA-S
△AOM-S
△MQE=
(2+6)×4-×2×2-×2×2=12.
(3):∵直线y=x+2与x轴,y轴相交于点N,A.
∴ON=OA=2,又
y=(x-2)2∵OA=OM=2.

∴FA⊥NP,
∵NE⊥PF,
∴点M是△PNF的垂心.
∴NF⊥PM.