试题

题目：
青果学院如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是
（3，
3
），（
1
3
3
，
1
3
）
（3，
3
），（
1
3
3
，
1
3
）
．
答案
（3，
3
），（
1
3
3
，
1
3
）

解：在Rt△AOH中，∠AOH=30°；
由题意，可知：当∠POQ=30°或∠POQ=60°时，以点Q为直角顶点的△POQ与△AOH全等，
故∠POx=60°或∠POx=30°；
①当∠POx=60°时，kOP=tan60°=
3
，所以，直线OP：y=
3
x，联立抛物线的解析式，有：
y=
3
x
y=x2
，
解得
x1=0
y1=0
，
x2=
3
y2=3
，
即：P1（
3
，3）；
②当∠POx=30°时，kOP=tan30°=
3
3
，所以，直线OP：y=
3
3
x，联立抛物线的解析式，有：
y=
3
3
x
y=x2
，
解得
x1=0
y1=0
，
x2=
3
3
y2=
1
3
，
即：P2（
3
3
，
1
3
）．
故答案：（3，
3
），（
1
3
3
，
1
3
）．
考点梳理
二次函数综合题．
由于AH的长度没有确定，所以只要以点Q为直角顶点的三角形与△AOH相似，那么两者就有可能全等；当点Q为直角顶点时，若∠POQ=30°或∠POQ=60°时，都符合解题要求，那么可根据∠POx的度数求出直线OP的解析式，然后联立抛物线的解析式即可得点P的坐标．
此题的难度并不大，抓住两个关键条件：①点Q为直角顶点，②以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等；由于题目没有明确告知AH的长，所以只要两者相似即可视作全等，这也为解题带来了很大的便利．
计算题；数形结合．
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