试题

如图，已知抛物线y=

3

4

x²+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（-1，0），过点C的直线y=

3

4t

x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH垂直OB于点H，若PB=5t，且0＜t＜1，存在使P，H，Q为顶点的三角形与三角形COQ相似的t的值有．

解：根据题意过点C的直线y=

3

4t

x-3与x轴交于点Q，得出C点坐标为：（0，-3），
将A点的坐标为（-1，0），C（0，-3）代入二次函数解析式求出：
b=-

9

4

，c=-3；
得y=

3

4

x²-

9

4

x-3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=

3

4t

x-3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①当H在Q、B之间时，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②当H在O、Q之间时，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
综合①，②得QH=|4-8t|；
①当H在Q、B之间时，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得

4-8t

3

=

3t

4t

，
解得：t=

7

32

；
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得

3t

3

=

4-8t

4t

，
即t²+2t-1=0．
解得：t₁=

2

-1，t₂=-

2

-1（舍去），
②当H在O、Q之间时，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，则QH：CO=HP：OQ，得

8t-4

3

=

3t

4t

，
解得：t=

25

32

；
若△PHQ∽△COQ，则PH：CO=HQ：OQ，得

3t

3

=

8t-4

4t

，
即t²-2t+1=0．
∴t₁=t₂=1（舍去）．
综上所述，存在t的值，t₁=

2

-1，t₂=

7

32

，t₃=

25

32

，
故答案为：

2

-1，

7

32

，

25

32

．