试题

题目：
青果学院如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于
5
5
．
答案
5

青果学院解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=
1
2
OA=2，
由勾股定理得：DE=
OD2-OE2
=
5
，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴
BF
DE
=
OF
OE
，
CM
DE
=
AM
AE
，
∵AM=PM=
1
2
（OA-OP）=
1
2
（4-2x）=2-x，
即
BF
5
=
x
2
，
CM
5
=
2-x
2
，
解得：BF=
5
2
x，CM=
5
-
5
2
x，
∴BF+CM=
5
．
故答案为：
5
考点梳理
二次函数综合题．
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=
5
，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出
BF
DE
=
OF
OE
，
CM
DE
=
AM
AE
，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．
计算题；压轴题．
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