试题

题目：
青果学院如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，得到△AOH．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形△POQ与△AOH全等，则符合条件的△AOH的面积是
3
2
3
，2
3
，
1
18
3
，
2
9
3
3
2
3
，2
3
，
1
18
3
，
2
9
3
．
答案
3
2
3
，2
3
，
1
18
3
，
2
9
3

青果学院解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=30°，
∴直线OA：y=
3
3
x，联立抛物线的解析式，
∴
y=
3
3
x
y=x2
，
解得
x=0
y=0
或
x=
3
3
y=
1
3

故A（
3
3
，
1
3
），青果学院
∴S△AOH=
1
2
×
3
3
×
1
3
=
3
18
；
②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=
3
x，联立抛物线的解析式，
得
y=
3
x
y=x2
，解得
x=0
y=0
或
x=
3
y=3
，
∴P（
3
，3），A（3，
3
）
∴S△AOH=
1
2
×3×
3
=
3
3
2
；
③如图3，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=
3
x，联立抛物线的解析式，青果学院
得，
y=
3
x
y=x2
，解得
x=0
y=0
或
x=
3
y=3
，
∴P（
3
，3），
∴OP=2
3
，QP=2，
∴OH=OP=2
3
，AH=QP=2，
∴A（2
3
，2），
∴S△AOH=
1
2
×2
3
×2=2
3
；
④如图4，当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y=
3
3
x，联立抛物线的解析式，青果学院
得
y=
3
3
x
y=x2
，解得
x=0
y=0
或
x=
3
3
y=
1
3
，
∴P（
3
3
，
1
3
），
∴QP=
2
3
3
，OP=
2
3
，
∴OH=QP，QP=
2
3
3
，AH=OP=
2
3
，
∴A（
2
3
3
，
2
3
），
∴S△AOH=
1
2
×
2
3
3
×
2
3
=
2
3
9
．
综上所述，△AOH的面积为：
3
2
3
，2
3
，
1
18
3
，
2
9
3
．
故答案为：
3
2
3
，2
3
，
1
18
3
，
2
9
3
．
考点梳理
二次函数综合题．
由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=
3
x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解答此题时一定要注意进行分类讨论．
探究型．
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